Как можно решить уравнение √(2x²-5x-3) - √(-x-2)? Я слышал, что для этого используется дискриминант, но у меня есть сомнения.

Алгебра 9 класс Уравнения с корнями решение уравнения дискриминант алгебра 9 класс корни уравнения квадратные корни свойства корней сложные уравнения Новый

Чтобы решить уравнение √(2x²-5x-3) - √(-x-2) = 0, нам нужно сначала разобраться с корнями и условиями их существования. Давайте разберем это шаг за шагом.

Шаг 1: Определим область определения

Для того чтобы корни были определены, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Поэтому мы должны решить два неравенства:

• 2x² - 5x - 3 ≥ 0
• -x - 2 ≥ 0

Шаг 2: Решим второе неравенство

-x - 2 ≥ 0 можно переписать как -x ≥ 2. Умножим обе стороны на -1 (не забудем поменять знак неравенства):

x ≤ -2

Шаг 3: Решим первое неравенство

Теперь решим 2x² - 5x - 3 ≥ 0. Для этого найдем дискриминант:

• a = 2, b = -5, c = -3
• D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49

Теперь найдем корни уравнения 2x² - 5x - 3 = 0:

• x₁ = (5 + √49) / (2 * 2) = (5 + 7) / 4 = 3
• x₂ = (5 - √49) / (2 * 2) = (5 - 7) / 4 = -0.5

Теперь у нас есть корни x₁ = 3 и x₂ = -0.5. Чтобы определить знаки многочлена 2x² - 5x - 3, рассмотрим промежутки:

• (-∞, -0.5)
• (-0.5, 3)
• (3, +∞)

Тестируем знак в каждом промежутке:

• Для x < -0.5, например, x = -1: 2(-1)² - 5(-1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 (положительное)
• Для -0.5 < x < 3, например, x = 0: 2(0)² - 5(0) - 3 = -3 (отрицательное)
• Для x > 3, например, x = 4: 2(4)² - 5(4) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 (положительное)

Таким образом, 2x² - 5x - 3 ≥ 0 на интервалах:

• x ≤ -0.5
• x ≥ 3

Шаг 4: Совместим области определения

Теперь мы знаем, что:

• Для -x - 2 ≥ 0: x ≤ -2
• Для 2x² - 5x - 3 ≥ 0: x ≤ -0.5 или x ≥ 3

Совместив эти условия, получаем, что x ≤ -2.

Шаг 5: Подставим x в уравнение

Теперь подставим x ≤ -2 в уравнение:

√(2x² - 5x - 3) = √(-x - 2)

Возведем обе стороны в квадрат:

2x² - 5x - 3 = -x - 2

Теперь перенесем все в одну сторону:

2x² - 4x - 1 = 0

Шаг 6: Найдем дискриминант для нового уравнения

• a = 2, b = -4, c = -1
• D = (-4)² - 4 * 2 * (-1) = 16 + 8 = 24

Теперь найдем корни:

• x₁ = (4 + √24) / 4 = (4 + 2√6) / 4 = 1 + √6 / 2
• x₂ = (4 - √24) / 4 = (4 - 2√6) / 4 = 1 - √6 / 2

Шаг 7: Проверим корни на соответствие области определения

Теперь нам нужно проверить, какие из этих корней удовлетворяют условию x ≤ -2. Если ни один из корней не удовлетворяет, то у уравнения нет решений.

Таким образом, уравнение √(2x²-5x-3) - √(-x-2) = 0 не имеет решений, так как все найденные корни не удовлетворяют области определения.