Чтобы решить уравнение 4sin^2 x = cos^2 x, следуем следующим шагам:

1. Используем тригонометрическую идентичность: Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1. Это позволяет нам выразить cos^2 x через sin^2 x. Запишем:
• cos^2 x = 1 - sin^2 x.
2. Подставим это выражение в уравнение: Теперь заменим cos^2 x в нашем уравнении:
• 4sin^2 x = 1 - sin^2 x.
3. Соберем все слагаемые с sin^2 x в одну сторону: Переносим sin^2 x в левую часть уравнения:
• 4sin^2 x + sin^2 x = 1.
• 5sin^2 x = 1.
4. Решим уравнение относительно sin^2 x: Делим обе стороны на 5:
• sin^2 x = 1/5.
5. Находим sin x: Чтобы найти sin x, извлекаем квадратный корень из обеих сторон:
• sin x = ±√(1/5).
6. Упростим корень: Мы можем записать это как:
• sin x = ±1/√5 = ±√5/5.
7. Находим углы x: Теперь нам нужно найти значения x, для которых sin x = √5/5 и sin x = -√5/5. Учитывая, что синус положителен в 1 и 2 четверти, а отрицателен в 3 и 4 четверти, мы можем записать:
• x = arcsin(√5/5) + 2kπ, k ∈ Z (первый квадрант),
• или x = π - arcsin(√5/5) + 2kπ, k ∈ Z (второй квадрант),
• или x = arcsin(-√5/5) + 2kπ, k ∈ Z (третий квадрант),
• или x = π - arcsin(-√5/5) + 2kπ, k ∈ Z (четвертый квадрант).

Таким образом, мы нашли все решения уравнения 4sin^2 x = cos^2 x. Не забудьте проверить, что найденные значения x удовлетворяют исходному уравнению.