Как можно решить уравнение 5x^3 - 16x^2 - 32x + 40 = 0? Пожалуйста, предоставьте решение и ответ.

Алгебра 9 класс Уравнения третьей степени решение уравнения алгебра 9 класс уравнение 5x^3 нахождение корней методы решения уравнений Новый

Решение уравнения 5x^3 - 16x^2 - 32x + 40 = 0 можно выполнить в несколько шагов. Давайте разберем процесс подробно.

Шаг 1: Поиск рациональных корней

Сначала попробуем найти рациональные корни уравнения с помощью теоремы о рациональных корнях. По теореме, возможные рациональные корни уравнения имеют вид p/q, где p - делители свободного члена (в данном случае 40), а q - делители старшего коэффициента (в данном случае 5).

• Делители 40: ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40
• Делители 5: ±1, ±5
• Таким образом, возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40, ±1/5, ±2/5, ±4/5, ±8/5, ±10/5, ±20/5, ±40/5.

Шаг 2: Проверка возможных корней

Давайте проверим несколько из этих значений, подставляя их в уравнение:

• Подставим x = 2:

5(2)^3 - 16(2)^2 - 32(2) + 40 = 5(8) - 16(4) - 64 + 40 = 40 - 64 - 64 + 40 = -48 (не корень)

• Подставим x = 4:

5(4)^3 - 16(4)^2 - 32(4) + 40 = 5(64) - 16(16) - 128 + 40 = 320 - 256 - 128 + 40 = -24 (не корень)

• Подставим x = -2:

5(-2)^3 - 16(-2)^2 - 32(-2) + 40 = 5(-8) - 16(4) + 64 + 40 = -40 - 64 + 64 + 40 = 0 (корень)

Шаг 3: Деление уравнения на (x + 2)

Теперь, когда мы нашли корень x = -2, мы можем разделить полином 5x^3 - 16x^2 - 32x + 40 на (x + 2) с помощью деления многочленов.

После деления мы получим:

5x^3 - 16x^2 - 32x + 40 = (x + 2)(5x^2 - 26x + 20)

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим квадратное уравнение 5x^2 - 26x + 20 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 * 5 * 20 = 676 - 400 = 276.
• Так как D > 0, у уравнения два различных корня.

Теперь найдем корни с помощью формулы:

• x1 = (26 + sqrt(276)) / (2 * 5)
• x2 = (26 - sqrt(276)) / (2 * 5)

Шаг 5: Вычисление корней

Теперь вычислим корни:

• x1 = (26 + sqrt(276)) / 10 ≈ 4.4 (приблизительно)
• x2 = (26 - sqrt(276)) / 10 ≈ 0.6 (приблизительно)

Итак, окончательные корни уравнения:

Корни уравнения 5x^3 - 16x^2 - 32x + 40 = 0:

• x1 ≈ 4.4
• x2 ≈ 0.6
• x3 = -2

Таким образом, уравнение имеет три корня: x ≈ 4.4, x ≈ 0.6 и x = -2.