Как можно упростить выражение 1/(sqrt(2)+1) + 1/(sqrt(3)+sqrt(2)) + 1/(sqrt(4)+sqrt(3)) + ... + 1/(sqrt(100)+sqrt(99))?

Алгебра 9 класс Упрощение дробей с иррациональными знаменателями Упрощение выражения алгебра 9 класс математические выражения сумма дробей корни чисел последовательность дробей алгебраические операции решение задач по алгебре Новый

Для упрощения данного выражения мы будем использовать метод рационализации. Давайте рассмотрим каждое из слагаемых в выражении по отдельности. Общее слагаемое имеет вид:

1/(sqrt(n) + sqrt(n-1)), где n принимает значения от 2 до 100.

Теперь давайте рационализируем каждое слагаемое:

1. Для выражения 1/(sqrt(n) + sqrt(n-1)) мы умножим числитель и знаменатель на (sqrt(n) - sqrt(n-1)). Таким образом, мы получим:
2. 1/(sqrt(n) + sqrt(n-1)) * (sqrt(n) - sqrt(n-1)) / (sqrt(n) - sqrt(n-1)) = (sqrt(n) - sqrt(n-1)) / (n - (n-1)) = (sqrt(n) - sqrt(n-1)) / 1 = sqrt(n) - sqrt(n-1).

Теперь подставим это в исходное выражение:

Сумма будет выглядеть следующим образом:

(sqrt(2) - sqrt(1)) + (sqrt(3) - sqrt(2)) + (sqrt(4) - sqrt(3)) + ... + (sqrt(100) - sqrt(99)).

Обратите внимание, что это сумма телескопического вида. В телескопической сумме многие члены взаимно уничтожаются. Давайте выполним это:

• От первого слагаемого (sqrt(2) - sqrt(1)) останется sqrt(2) - 1.
• От последнего слагаемого (sqrt(100) - sqrt(99)) останется sqrt(100) - sqrt(99) = 10 - sqrt(99).

Таким образом, все средние члены сократятся, и мы получим:

10 - 1 = 9.

Таким образом, окончательный ответ на вопрос о том, как упростить данное выражение, равен 9.