Как можно вычислить производную сложной функции?

Алгебра 9 класс Производная сложной функции производная сложной функции вычисление производной правила дифференцирования алгебра 9 класс сложные функции математика алгебра Новый

Вычисление производной сложной функции осуществляется с помощью правила дифференцирования, известного как правило цепочки. Это правило позволяет находить производную функции, которая является композицией двух или более функций. Давайте рассмотрим шаги, которые помогут вам понять, как применять это правило.

1. Определите функции: Пусть у вас есть сложная функция вида y = f(g(x)), где f и g - это две функции. Здесь g(x) - внутренняя функция, а f(u) - внешняя функция, где u = g(x).
2. Найдите производную внешней функции: Вычислите производную f(u) по u. Это обозначается как f'(u).
3. Найдите производную внутренней функции: Вычислите производную g(x) по x. Это обозначается как g'(x).
4. Примените правило цепочки: Теперь, чтобы найти производную y по x, используйте правило цепочки, которое гласит:

   dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)

Теперь давайте рассмотрим пример для лучшего понимания:

Пусть у нас есть функция y = (3x^2 + 2)^4. Здесь f(u) = u^4, а g(x) = 3x^2 + 2.

1. Найдите производную внешней функции: f'(u) = 4u^3.
2. Найдите производную внутренней функции: g'(x) = 6x.
3. Примените правило цепочки:
• Сначала подставим g(x) в f'(u): f'(g(x)) = 4(3x^2 + 2)^3.
• Теперь умножим на g'(x): dy/dx = 4(3x^2 + 2)^3 * 6x.

Таким образом, производная функции y = (3x^2 + 2)^4 равна 24x(3x^2 + 2)^3.

Следуя этим шагам, вы сможете вычислять производные сложных функций с помощью правила цепочки. Практикуйтесь на различных примерах, чтобы лучше освоить этот метод!