2025-10-18 03:15:48
Как найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=х, у=1/х² и х=2?
Алгебра 9 класс Интегралы и площадь фигур площадь плоской фигуры у=х у=1/х² х=2 алгебра 9 класс нахождение площади ограниченные линии геометрия интегралы задачи по алгебре
2025-10-18 03:17:04
Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми у = х, у = 1/x² и вертикальной линией х = 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:
Шаг 1: Найти точки пересечения кривыхСначала нам нужно найти точки пересечения линий у = х и у = 1/x². Для этого приравняем их:
- х = 1/x²
- Умножим обе стороны на x² (при условии, что x ≠ 0):
- x³ = 1
- Отсюда x = 1.
Теперь мы знаем, что одна из точек пересечения — это (1, 1).
Шаг 2: Определить область интегрированияСледующая точка пересечения у нас — это x = 2. Мы уже имеем точки пересечения и теперь можем определить границы интегрирования. Область, ограниченная кривыми, будет между x = 1 и x = 2.
Шаг 3: Определить верхнюю и нижнюю функцииТеперь нам нужно понять, какая функция находится выше, а какая ниже в пределах от x = 1 до x = 2. Подставим значение x в обе функции:
- Для x = 1: у = 1 и у = 1/1² = 1 (они равны).
- Для x = 2: у = 2 и у = 1/2² = 1/4 (у = 2 выше).
Таким образом, на отрезке [1, 2] верхняя функция — это у = х, а нижняя — у = 1/x².
Шаг 4: Записать интеграл для площадиПлощадь фигуры можно найти, вычислив интеграл от разности верхней и нижней функции:
Площадь = ∫(от 1 до 2) (х - 1/x²) dx.
Шаг 5: Вычислить интегралТеперь давайте вычислим интеграл:
- Интеграл от х: ∫х dx = (1/2)x².
- Интеграл от 1/x²: ∫1/x² dx = -1/x.
Таким образом, мы можем записать:
∫(от 1 до 2) (х - 1/x²) dx = [(1/2)x² - 1/x] (от 1 до 2).
Шаг 6: Подставить границы интегрированияТеперь подставим границы:
- Вычисляем для x = 2:
- (1/2)(2)² - 1/2 = 2 - 0.5 = 1.5.
- Вычисляем для x = 1:
- (1/2)(1)² - 1/1 = 0.5 - 1 = -0.5.
Теперь вычтем результаты:
Площадь = 1.5 - (-0.5) = 1.5 + 0.5 = 2.
Ответ:Площадь фигуры, ограниченной линиями у = х, у = 1/x² и х = 2, равна 2.