Чтобы найти значение x, при котором производная функции f'(x) равна нулю, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x). Для этого воспользуемся правилом произведения, так как функция является произведением двух множителей: (5 - 2x)^{4} и (2x + 1)^{3}.
2. Применим правило произведения. Если u = (5 - 2x)^{4} и v = (2x + 1)^{3}, то производная f(x) будет равна:
• f'(x) = u'v + uv'
3. Находим производные u' и v':
• u' = 4(5 - 2x)^{3} * (-2) = -8(5 - 2x)^{3}
• v' = 3(2x + 1)^{2} * 2 = 6(2x + 1)^{2}
4. Подставляем u', v, u, v' в формулу для производной:
• f'(x) = -8(5 - 2x)^{3}(2x + 1)^{3} + (5 - 2x)^{4} * 6(2x + 1)^{2}
5. Упростим выражение:
• f'(x) = (5 - 2x)^{3}(2x + 1)^{2}[-8(2x + 1) + 6(5 - 2x)]
6. Упрощаем скобки:
• -8(2x + 1) + 6(5 - 2x) = -16x - 8 + 30 - 12x = -28x + 22
7. Таким образом, производная f'(x) равна:
• f'(x) = (5 - 2x)^{3}(2x + 1)^{2}(-28x + 22)
8. Теперь находим, когда f'(x) = 0. Это произойдёт, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• (5 - 2x)^{3} = 0
• (2x + 1)^{2} = 0
• -28x + 22 = 0
9. Решаем каждое из уравнений:
• 1) 5 - 2x = 0
  2x = 5
  x = 2.5
• 2) 2x + 1 = 0
  2x = -1
  x = -0.5
• 3) -28x + 22 = 0
  28x = 22
  x = 22/28 = 11/14 ≈ 0.7857
10. Таким образом, значения x, при которых производная равна нулю:
• x = 2.5
• x = -0.5
• x ≈ 0.7857

Эти значения можно подставить обратно в исходную функцию, чтобы проверить, действительно ли производная равна нулю в этих точках.