Чтобы понять, как решать квадратные неравенства и определять, в каких интервалах находятся решения, давайте рассмотрим общий подход к решению квадратных неравенств.

Шаг 1: Приведение неравенства к стандартному виду

Сначала нам нужно привести неравенство к стандартному виду. Например, если у нас есть неравенство вида:

ax^2 + bx + c > 0 или ax^2 + bx + c < 0,

то мы должны перенести все члены на одну сторону, чтобы получить неравенство вида:

Шаг 2: Нахождение корней уравнения

Следующий шаг — найти корни соответствующего квадратного уравнения:

ax^2 + bx + c = 0.

Мы можем использовать дискриминант D = b^2 - 4ac для нахождения корней. Если D > 0, у нас два различных корня; если D = 0, один корень; если D < 0, корней нет.

Шаг 3: Построение числовой прямой

После нахождения корней, мы рисуем числовую прямую и отмечаем на ней корни. Эти корни делят числовую прямую на интервалы.

Шаг 4: Проверка знака на интервалах

Теперь мы должны проверить знак выражения ax^2 + bx + c на каждом из полученных интервалов. Для этого выбираем тестовые точки (любые числа из интервалов) и подставляем их в неравенство.

Шаг 5: Запись ответа

На основе знаков, которые мы получили на интервалах, мы можем записать ответ. Если неравенство требует, чтобы выражение было больше нуля (> 0), мы берем те интервалы, где выражение положительно. Если меньше нуля (< 0), то берем интервалы, где выражение отрицательно.

Пример:

Рассмотрим неравенство:

x^2 - 3x + 2 < 0

1. Находим корни: D = (-3)^2 - 4*1*2 = 1. Корни: x1 = 1, x2 = 2.

2. Интервалы: (-∞; 1), (1; 2), (2; +∞).

3. Проверяем знаки:

• Для x < 1, например, x = 0: 0^2 - 3*0 + 2 = 2 (положительное).
• Для 1 < x < 2, например, x = 1.5: (1.5)^2 - 3*1.5 + 2 = -0.25 (отрицательное).
• Для x > 2, например, x = 3: 3^2 - 3*3 + 2 = 2 (положительное).

4. Вывод: неравенство выполняется на интервале (1; 2).

Таким образом, в зависимости от знаков на интервалах, мы можем получить разные решения для различных неравенств. В вашем случае x ∈ (-∞; 1] U [2; +∞) означает, что выражение положительно на этих интервалах, а x ∈ [1; 2] — что оно отрицательно на этом интервале. Следуя вышеописанным шагам, вы сможете понять, как находить нужные интервалы для различных квадратных неравенств.