Как решить неравенство: 25^(x-1) - 129 * 5^(x-2) + 20 < 0?

Алгебра 9 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 9 класс 25^(x-1) 5^(x-2) неравенство математические задачи алгебраические уравнения методы решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство 25^(x-1) - 129 * 5^(x-2) + 20 < 0, начнем с преобразования выражения. Обратите внимание, что 25 можно представить как 5^2. Тогда неравенство можно переписать следующим образом:

(5^2)^(x-1) - 129 * 5^(x-2) + 20 < 0

Теперь упростим первое слагаемое:

5^(2(x-1)) = 5^(2x - 2)

Таким образом, неравенство становится:

5^(2x - 2) - 129 * 5^(x - 2) + 20 < 0

Теперь сделаем замену переменной. Пусть y = 5^(x - 2). Тогда 5^(2x - 2) = (5^(x - 2))^2 * 5^2 = 25y^2. Подставим это в неравенство:

25y^2 - 129y + 20 < 0

Теперь нам нужно решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

25y^2 - 129y + 20 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 25, b = -129, c = 20. Подставим значения:

b^2 - 4ac = (-129)^2 - 4 * 25 * 20

Посчитаем:

• (-129)^2 = 16641
• 4 * 25 * 20 = 2000
• 16641 - 2000 = 14641

Теперь найдем корни:

y = (129 ± √14641) / 50

Вычислим корень из 14641:

√14641 = 121

Следовательно, корни будут:

• y1 = (129 + 121) / 50 = 250 / 50 = 5
• y2 = (129 - 121) / 50 = 8 / 50 = 0.16

Теперь у нас есть два корня: y1 = 5 и y2 = 0.16. Неравенство 25y^2 - 129y + 20 < 0 будет выполняться между этими корнями:

0.16 < y < 5

Теперь вернемся к переменной y = 5^(x - 2). Подставим границы:

• 0.16 < 5^(x - 2) < 5

Решим каждую часть:

1. 5^(x - 2) > 0.16

Это неравенство выполняется, если:

x - 2 > log5(0.16)

2. 5^(x - 2) < 5

Это неравенство выполняется, если:

x - 2 < 1

Теперь найдем логарифм:

log5(0.16) = log5(16) - 2 = 4 * log5(2) - 2

Приблизительно log5(2) ≈ 0.43, тогда log5(0.16) ≈ 4 * 0.43 - 2 = 1.72 - 2 = -0.28.

Теперь у нас есть две неравенства:

• x - 2 > -0.28 → x > 1.72
• x - 2 < 1 → x < 3

Таким образом, окончательный ответ:

1.72 < x < 3

Или в интервале: (1.72, 3).