Как решить неравенство (x-1)(3-x)(x-2)^2 > 0?

Алгебра 9 класс Неравенства неравенство алгебра решение неравенства (x-1)(3-x)(x-2)^2 алгебра 9 класс математические неравенства метод интервалов Новый

Для решения неравенства (x-1)(3-x)(x-2)^2 > 0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем нули функции.

Сначала найдем значения x, при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• x - 1 = 0 → x = 1
• 3 - x = 0 → x = 3
• (x - 2)^2 = 0 → x = 2

Таким образом, нули функции: x = 1, x = 2, x = 3.

Шаг 2: Определим знаки каждого множителя.

Теперь разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные нули:

• (-∞, 1)
• (1, 2)
• (2, 3)
• (3, +∞)

Шаг 3: Проверим знаки в каждом интервале.

Выберем тестовые значения из каждого интервала и подставим их в выражение (x-1)(3-x)(x-2)^2:

• Для интервала (-∞, 1): выберем x = 0.
• (0-1)(3-0)(0-2)^2 = (-1)(3)(4) < 0 (отрицательное)
• Для интервала (1, 2): выберем x = 1.5.
• (1.5-1)(3-1.5)(1.5-2)^2 = (0.5)(1.5)(-0.5)^2 > 0 (положительное)
• Для интервала (2, 3): выберем x = 2.5.
• (2.5-1)(3-2.5)(2.5-2)^2 = (1.5)(0.5)(0.5)^2 > 0 (положительное)
• Для интервала (3, +∞): выберем x = 4.
• (4-1)(3-4)(4-2)^2 = (3)(-1)(2)^2 < 0 (отрицательное)

Шаг 4: Составим итоговые интервалы.

Теперь можем записать знаки на каждом интервале:

• (-∞, 1): отрицательное
• (1, 2): положительное
• (2, 3): положительное
• (3, +∞): отрицательное

Шаг 5: Определим, где неравенство выполняется.

Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля. Это происходит на интервалах (1, 2) и (2, 3).

Шаг 6: Учитываем точки.

Значения x = 1, x = 2 и x = 3 не входят в решение, так как в них произведение равно нулю. Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: (1, 2) ∪ (2, 3).