Чтобы решить неравенство -x^2 + 3x + 4 > 0, следуем следующим шагам:

1. Перепишем неравенство: Сначала упростим его. Умножим обе стороны на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
• -x^2 + 3x + 4 > 0 => x^2 - 3x - 4 < 0
2. Найдем корни уравнения: Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 3x - 4 = 0. Используем формулу корней:
• Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = -4.
• В данном случае: b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*1*(-4) = 9 + 16 = 25.
• Теперь подставим в формулу: x = (3 ± √25) / 2 = (3 ± 5) / 2.
• Таким образом, корни: x1 = (3 + 5) / 2 = 4 и x2 = (3 - 5) / 2 = -1.
3. Определим знаки на интервалах: Теперь у нас есть корни x1 = 4 и x2 = -1. Разделим числовую прямую на интервалы:
• (-∞; -1)
• (-1; 4)
• (4; +∞)
4. Проверим знаки в каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство x^2 - 3x - 4:
• Для интервала (-∞; -1): выберем, например, x = -2:
  • x^2 - 3x - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 (положительное)
• Для интервала (-1; 4): выберем, например, x = 0:
  • x^2 - 3x - 4 = 0 - 0 - 4 = -4 (отрицательное)
• Для интервала (4; +∞): выберем, например, x = 5:
  • x^2 - 3x - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 (положительное)
5. Запишем ответ: Мы видим, что неравенство x^2 - 3x - 4 < 0 выполняется на интервале (-1; 4). Поэтому окончательный ответ:
• x ∈ (-1; 4)

Таким образом, решением неравенства -x^2 + 3x + 4 > 0 является интервал (-1; 4).