Как решить неравенство (x²-7x+12)(x²-x+2) < 0?

Алгебра 9 класс Неравенства решение неравенства алгебра 9 класс неравенства с многочленами как решить неравенство методы решения неравенств Новый

Привет! Давай разберемся с этим неравенством шаг за шагом.

У нас есть неравенство вида (x² - 7x + 12)(x² - x + 2) < 0. Сначала нужно понять, когда каждый из множителей меньше нуля. Для этого давай сначала найдем корни каждого из многочленов.

1. Найдем корни первого многочлена:

x² - 7x + 12 = 0. Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-7)² - 4*1*12 = 49 - 48 = 1.
• Корни: x1 = (7 + √D) / 2 = (7 + 1) / 2 = 4,
• x2 = (7 - √D) / 2 = (7 - 1) / 2 = 3.

2. Найдем корни второго многочлена:

x² - x + 2 = 0. Смотрим на дискриминант:

• D = (-1)² - 4*1*2 = 1 - 8 = -7. Это значит, что корней нет, и этот многочлен всегда положителен.

Теперь, зная, что второй множитель всегда положителен, можем сосредоточиться только на первом множителе (x² - 7x + 12).

3. Определим знаки первого множителя:

Мы нашли, что корни первого многочлена: x1 = 3 и x2 = 4. Теперь делим числовую прямую на интервалы:

• (-∞, 3)
• (3, 4)
• (4, +∞)

Теперь подставим тестовые значения из каждого интервала:

• Для интервала (-∞, 3), например, x = 0: (0² - 7*0 + 12) = 12 > 0.
• Для интервала (3, 4), например, x = 3.5: (3.5² - 7*3.5 + 12) < 0.
• Для интервала (4, +∞), например, x = 5: (5² - 7*5 + 12) = 2 > 0.

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, 3) - положительно.
• На интервале (3, 4) - отрицательно.
• На интервале (4, +∞) - положительно.

4. Итог:

Неравенство (x² - 7x + 12)(x² - x + 2) < 0 выполняется только на интервале (3, 4).

Таким образом, ответ будет: x ∈ (3, 4).

Если что-то непонятно, не стесняйся спрашивать!