Давайте рассмотрим каждое из данных уравнений по очереди и подробно объясним, как их решать, используя свойства алгебры и модульные функции.

Для решения этого уравнения, нам нужно рассмотреть два случая: когда x >= 0 и когда x < 0.

1. Случай 1: x >= 0
   • Заменяем |x| на x: 2x² + 3x - 1 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 3² - 4*2*(-1) = 9 + 8 = 17.
   • Находим корни: x1 = (-3 + √17)/4 и x2 = (-3 - √17)/4. Проверяем, удовлетворяют ли они условию x >= 0.
2. Случай 2: x < 0
   • Заменяем |x| на -x: 2x² - 3x - 1 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение: D = (-3)² - 4*2*(-1) = 9 + 8 = 17.
   • Находим корни: x1 = (3 + √17)/4 и x2 = (3 - √17)/4. Проверяем, удовлетворяют ли они условию x < 0.

Рассмотрим два случая в зависимости от выражения внутри модуля.

1. Случай 1: x + 4 >= 0 (x >= -4)
   • Заменяем |x + 4| на x + 4: x² + x + 4 = 4.
   • Упрощаем уравнение: x² + x = 0, что дает x(x + 1) = 0.
   • Корни: x = 0 и x = -1. Проверяем, удовлетворяют ли они условию x >= -4.
2. Случай 2: x + 4 < 0 (x < -4)
   • Заменяем |x + 4| на -(x + 4): x² - (x + 4) = 4.
   • Упрощаем: x² - x - 8 = 0.
   • Решаем квадратное уравнение: D = 1 + 32 = 33. Находим корни и проверяем, удовлетворяют ли они условию x < -4.

Снова рассмотрим два случая.

1. Случай 1: x >= 0
   • Заменяем |x| на x: x² - 4x - 21 = 0.
   • Решаем: D = 16 + 84 = 100. Находим корни и проверяем, удовлетворяют ли они условию x >= 0.
2. Случай 2: x < 0
   • Заменяем |x| на -x: x² + 4x - 21 = 0.
   • Решаем: D = 16 + 84 = 100. Находим корни и проверяем, удовлетворяют ли они условию x < 0.

Рассмотрим два случая.

1. Случай 1: x - 5 >= 0 (x >= 5)
   • Заменяем |x - 5| на x - 5: x² - (x - 5) = 5.
   • Упрощаем: x² - x + 5 - 5 = 0, что дает x² - x = 0.
   • Корни: x = 0 и x = 1. Проверяем, удовлетворяют ли они условию x >= 5.
2. Случай 2: x - 5 < 0 (x < 5)
   • Заменяем |x - 5| на -(x - 5): x² + x - 5 = 5.
   • Упрощаем: x² + x - 10 = 0. Находим корни и проверяем, удовлетворяют ли они условию x < 5.

Здесь также рассмотрим два случая.

1. Случай 1: x - 2 >= 0 (x >= 2)
   • Заменяем |x - 2| на x - 2: (x - 2)² - 8(x - 2) + 15 = 0.
   • Упрощаем: x² - 4x + 4 - 8x + 16 + 15 = 0. Упрощаем уравнение и находим корни.
2. Случай 2: x - 2 < 0 (x < 2)
   • Заменяем |x - 2| на -(x - 2): (x - 2)² + 8(x - 2) + 15 = 0.
   • Упрощаем: x² - 4x + 4 + 8x - 16 + 15 = 0. Упрощаем и находим корни.

После выполнения всех шагов для каждого уравнения, вы получите набор решений, которые нужно будет проверить на соответствие условиям, установленным для каждого случая. Не забудьте, что некоторые корни могут не подходить под условия, и их нужно будет исключить из окончательного ответа.