Как решить уравнение: √( (18-7x-x²)/(8-6x+x²) ) + √( (8-6x+x²)/(18-7x-x²) ) = 13/6? Прошу предоставить подробное решение.

Алгебра 9 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 9 класс квадратные корни уравнения с корнями математическое решение Новый

Для решения уравнения √((18-7x-x²)/(8-6x+x²)) + √((8-6x+x²)/(18-7x-x²)) = 13/6, начнем с обозначений для упрощения:

• Обозначим A = √((18-7x-x²)/(8-6x+x²))
• Обозначим B = √((8-6x+x²)/(18-7x-x²))

Таким образом, уравнение можно переписать как:

A + B = 13/6

Теперь заметим, что A * B = 1, поскольку:

• При умножении A и B получаем: A * B = √((18-7x-x²)/(8-6x+x²)) * √((8-6x+x²)/(18-7x-x²)) = √(1) = 1

Теперь у нас есть система:

• 1) A + B = 13/6
• 2) A * B = 1

Сначала выразим B через A из первого уравнения:

B = 13/6 - A

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

A * (13/6 - A) = 1

Раскроем скобки:

13A/6 - A² = 1

Переносим все в одну сторону:

A² - 13A/6 + 1 = 0

Теперь умножим уравнение на 36, чтобы избавиться от дробей:

36A² - 78A + 36 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

A = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 36, b = -78, c = 36.

Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-78)² - 4 36 36 = 6084 - 5184 = 900

Теперь подставим значения в формулу:

A = (78 ± √900) / (2 * 36)

Так как √900 = 30, то получаем два значения для A:

• A₁ = (78 + 30) / 72 = 108 / 72 = 3/2
• A₂ = (78 - 30) / 72 = 48 / 72 = 2/3

Теперь найдем соответствующие значения B:

• Для A₁ = 3/2: B₁ = 13/6 - 3/2 = 13/6 - 9/6 = 4/6 = 2/3
• Для A₂ = 2/3: B₂ = 13/6 - 2/3 = 13/6 - 4/6 = 9/6 = 3/2

Теперь у нас есть два решения для A и B:

• (A₁, B₁) = (3/2, 2/3)
• (A₂, B₂) = (2/3, 3/2)

Теперь вернемся к исходным выражениям:

1) A = √((18-7x-x²)/(8-6x+x²)) = 3/2

2) B = √((8-6x+x²)/(18-7x-x²)) = 2/3

Решим первое уравнение:

√((18-7x-x²)/(8-6x+x²)) = 3/2

Квадратим обе стороны:

(18-7x-x²)/(8-6x+x²) = 9/4

Перемножим на 4(8-6x+x²):

4(18-7x-x²) = 9(8-6x+x²)

Раскроем скобки:

72 - 28x - 4x² = 72 - 54x + 9x²

Соберем все в одну сторону:

0 = 13x² - 26x

Решим это уравнение:

x(13x - 26) = 0

Таким образом, x = 0 или x = 2.

Теперь проверим второе уравнение:

√((8-6x+x²)/(18-7x-x²)) = 2/3

Квадратим обе стороны:

(8-6x+x²)/(18-7x-x²) = 4/9

Перемножим на 9(18-7x-x²):

9(8-6x+x²) = 4(18-7x-x²)

Раскроем скобки:

72 - 54x + 9x² = 72 - 28x - 4x²

Соберем все в одну сторону:

13x² - 26x = 0

Получаем те же решения: x = 0 или x = 2.

Итак, окончательные решения уравнения:

x = 0 и x = 2.