Как решить уравнение cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0 и найти все корни, которые находятся на отрезке [π, 5π/2]?

Алгебра 9 класс Уравнения тригонометрические решение уравнения косинус синус корни уравнения отрезок [π 5π/2] алгебра 9 класс Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0, начнем с преобразования первой части уравнения. Мы знаем, что cos(2x) можно выразить через sin(x) с помощью тригонометрических идентичностей. Используем формулу:

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin²(x) + 3sin(x) - 2 = 0

Упростим уравнение:

-2sin²(x) + 3sin(x) - 1 = 0

Теперь умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin²(x) - 3sin(x) + 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

2y² - 3y + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня. Находим их по формуле:

• y1 = (3 + √D) / (2 * 2) = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
• y2 = (3 - √D) / (2 * 2) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь у нас есть два значения для sin(x): y1 = 1 и y2 = 1/2.

Рассмотрим каждое из них:

1. Для sin(x) = 1:
• Это происходит, когда x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
2. Для sin(x) = 1/2:
• Это происходит, когда x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k - любое целое число.

Теперь найдем все корни на отрезке [π, 5π/2].

Для sin(x) = 1:

• Проверяем: π/2 + 2kπ не попадает в отрезок [π, 5π/2].

Для sin(x) = 1/2:

• Для x = π/6 + 2kπ: при k = 0 x = π/6 (не входит в отрезок).
• Для x = 5π/6 + 2kπ: при k = 0 x = 5π/6 (не входит в отрезок).
• При k = 1: x = π/6 + 2π = 13π/6 (входит в отрезок).
• При k = 1: x = 5π/6 + 2π = 17π/6 (входит в отрезок).

Теперь проверим, входят ли найденные значения в отрезок [π, 5π/2]:

• 13π/6 ≈ 6.78 (входит в отрезок).
• 17π/6 ≈ 8.88 (не входит в отрезок).

Таким образом, единственный корень уравнения cos(2x) + 3sin(x) - 2 = 0 на отрезке [π, 5π/2]:

x = 13π/6.