Для решения уравнения sin 2x cos 17x - cos 2x sin 17x = sin^2 (3π/2) начнем с упрощения левой части уравнения. Мы можем использовать формулу разности синусов:

sin A cos B - cos A sin B = sin(A - B).

В нашем случае:

• A = 2x
• B = 17x

Тогда левая часть уравнения превращается в:

sin(2x - 17x) = sin(-15x).

Теперь у нас есть уравнение:

sin(-15x) = sin^2(3π/2).

Теперь найдем правую часть уравнения. Значение sin(3π/2) равно -1, следовательно:

sin^2(3π/2) = (-1)^2 = 1.

Теперь у нас есть уравнение:

sin(-15x) = 1.

Синус равен 1, когда его аргумент равен π/2 + 2kπ, где k – любое целое число. Поскольку у нас аргумент -15x, запишем это так:

-15x = π/2 + 2kπ.

Теперь решим это уравнение для x:

1. Умножим обе стороны на -1:
2. 15x = -π/2 - 2kπ.
3. Теперь разделим обе стороны на 15:

x = -π/30 - (2kπ)/15.

Теперь найдем сумму всех корней. Мы знаем, что k может принимать любые целые значения. Положительные корни будут при отрицательных значениях k, а отрицательные корни - при положительных значениях k.

Рассмотрим несколько значений k:

• Для k = 0: x = -π/30 (отрицательный корень).
• Для k = -1: x = -π/30 + 2π/15 = -π/30 + 4π/30 = 3π/30 = π/10 (положительный корень).
• Для k = 1: x = -π/30 - 2π/15 = -π/30 - 4π/30 = -5π/30 = -π/6 (отрицательный корень).

Таким образом, у нас есть два положительных корня (при k = -1) и несколько отрицательных (при k = 0 и k = 1). Чтобы найти сумму всех найденных корней, сложим их:

Сумма = (-π/30) + (π/10) + (-π/6).

Теперь приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 30, 10 и 6 равен 30:

• -π/30 = -π/30
• π/10 = 3π/30
• -π/6 = -5π/30

Теперь подставим:

Сумма = -π/30 + 3π/30 - 5π/30 = (-1 + 3 - 5)π/30 = -3π/30 = -π/10.

Таким образом, сумма отрицательных и положительных корней равна -π/10.