Для решения уравнения x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0 мы можем использовать метод подбора корней и затем разложение на множители. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Подбор возможных корней: По теореме Виета, целые корни уравнения могут быть делителями свободного члена, то есть числа 24. Давайте перечислим делители 24: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.
2. Проверка корней: Подставим эти значения в уравнение, чтобы найти корень.
• Для x = 2:

  2^3 - 6*2^2 - 4*2 + 24 = 8 - 24 - 8 + 24 = 0

  Таким образом, x = 2 является корнем уравнения.

3. Разложение на множители: Теперь, когда мы нашли один корень (x = 2), мы можем разделить многочлен на (x - 2) с помощью деления многочленов или синтетического деления.
4. Синтетическое деление: Выполним синтетическое деление многочлена x^3 - 6x^2 - 4x + 24 на (x - 2):
   • Записываем коэффициенты: 1, -6, -4, 24.
   • Производим деление:
   • 2 | 1 -6 -4 24
   • | 2 -8 -24
   • ---------------------
   • | 1 -4 -12 0
   • Получаем: x^2 - 4x - 12.
5. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 4x - 12 = 0. Для этого используем формулу корней:
   • Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*(-12) = 16 + 48 = 64.
   • Корни уравнения: x1 = (4 + √64) / 2 = (4 + 8) / 2 = 6, x2 = (4 - √64) / 2 = (4 - 8) / 2 = -2.
6. Итак, все корни уравнения: Мы нашли три корня:
   • x = 2,
   • x = 6,
   • x = -2.

Таким образом, уравнение x^3 - 6x^2 - 4x + 24 = 0 имеет три корня: x = 2, x = 6, x = -2.