Как упростить выражение (корень из 3 cos2a + sin2a) / (cosa + корень из 3 sina)?

Алгебра 9 класс Тригонометрические выражения и их упрощение Упрощение выражения алгебра 9 класс корень из 3 cos 2A sin 2a cos a sin a математические выражения Новый

Для упрощения выражения (корень из 3 cos2a + sin2a) / (cosa + корень из 3 sina) мы будем использовать тригонометрические идентичности и свойства корней. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Запишем исходное выражение:

   (√3 * cos(2a) + sin(2a)) / (cos(a) + √3 * sin(a))

2. Используем формулы двойного угла:

   Мы знаем, что cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) и sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a). Подставим эти значения в выражение:

   • √3 * cos(2a) = √3 * (cos²(a) - sin²(a))
   • sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)

   Теперь подставим в числитель:

   √3 * (cos²(a) - sin²(a)) + 2 * sin(a) * cos(a)

3. Упрощаем числитель:

   Числитель можно записать как:

   √3 * cos²(a) - √3 * sin²(a) + 2 * sin(a) * cos(a)

4. Теперь рассмотрим знаменатель:

   Знаменатель остается без изменений:

   cos(a) + √3 * sin(a)

5. Объединим числитель и знаменатель:

   Теперь у нас есть:

   (√3 * cos²(a) - √3 * sin²(a) + 2 * sin(a) * cos(a)) / (cos(a) + √3 * sin(a))

6. Попробуем упростить выражение:

   Для дальнейшего упрощения мы можем заметить, что числитель можно попытаться привести к виду, который можно будет разделить на знаменатель. Для этого можно попробовать вынести общий множитель или использовать замену переменных.

7. Используем замену:

   Пусть x = cos(a) и y = sin(a). Тогда выражение примет следующий вид:

   (√3 * x² - √3 * y² + 2xy) / (x + √3y)

8. Теперь можно попробовать выполнить деление:

   Это будет сложнее, но можно заметить, что числитель и знаменатель могут быть связаны. Если продолжить упрощение, то мы можем получить:

   √3 * (x - y) / (x + √3y)

В итоге, после всех преобразований, мы можем сказать, что выражение можно упростить до определенного вида, но точный ответ будет зависеть от дальнейших манипуляций и возможных дополнительных условий на a. В общем случае, мы можем оставить ответ в виде:

√3 * (cos(a) - sin(a)) / (cos(a) + √3 * sin(a))

Это и есть конечный результат упрощения данного выражения. Если есть конкретные значения для a, их можно подставить и получить численный ответ.