Чтобы решить неравенство 3x² - 8x + 5 ≤ 0, начнем с нахождения корней соответствующего уравнения 3x² - 8x + 5 = 0.

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 3, b = -8, c = 5.

Подставляем значения:

• D = (-8)² - 4 * 3 * 5 = 64 - 60 = 4.

Так как дискриминант положителен (D > 0), это означает, что уравнение имеет два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:

• x₁ = ( -b + √D ) / (2a),
• x₂ = ( -b - √D ) / (2a).

Подставляем значения:

• x₁ = (8 + √4) / (2 * 3) = (8 + 2) / 6 = 10 / 6 = 5/3 ≈ 1.67,
• x₂ = (8 - √4) / (2 * 3) = (8 - 2) / 6 = 6 / 6 = 1.

Теперь у нас есть два корня: x₁ = 5/3 и x₂ = 1. Поскольку это квадратное неравенство, график функции 3x² - 8x + 5 представляет собой параболу, которая открыта вверх (так как коэффициент перед x² положительный).

Неравенство 3x² - 8x + 5 ≤ 0 будет выполняться между корнями, то есть для x из интервала [1, 5/3].

Теперь найдем наименьшее целое значение x, которое удовлетворяет этому неравенству. В данном интервале [1, 5/3] наименьшее целое число – это:

• 1.

Таким образом, наименьшее целое значение x, удовлетворяющее неравенству 3x² - 8x + 5 ≤ 0, равно 1.