Какова область определения функции y=√(3x-x^2), если под корнем находится всё выражение, а не только 3x?

Алгебра 9 класс Область определения функции область определения функции алгебра 9 класс уравнение с корнем решение уравнений функции и их свойства Новый

Чтобы найти область определения функции y = √(3x - x²), нам нужно определить, при каких значениях x выражение под корнем неотрицательно, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

3x - x² ≥ 0

Для этого сначала преобразим неравенство:

• Перепишем его в стандартной форме: -x² + 3x ≥ 0.
• Умножим все части неравенства на -1 (не забываем, что при этом знак неравенства меняется на противоположный):

x² - 3x ≤ 0

Теперь мы можем вынести общий множитель:

x(x - 3) ≤ 0

Теперь необходимо найти корни этого неравенства. Они находятся при:

• x = 0
• x - 3 = 0, отсюда x = 3

Теперь у нас есть два корня: x = 0 и x = 3. Эти корни делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, 0)
• (0, 3)
• (3, +∞)

Теперь мы проверим знак выражения x(x - 3) на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, 0): выберем, например, x = -1. Подставляем: (-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 (положительное).
2. Для интервала (0, 3): выберем, например, x = 1. Подставляем: (1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 (отрицательное).
3. Для интервала (3, +∞): выберем, например, x = 4. Подставляем: (4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 (положительное).

Теперь мы видим, что выражение x(x - 3) ≤ 0 выполняется на интервале (0, 3) и в точках x = 0 и x = 3.

Таким образом, область определения функции y = √(3x - x²) будет:

[0, 3]

Это означает, что x может принимать значения от 0 до 3 включительно.