Чтобы найти область определения функции y = (sqrt(x^2 - 3x - 4))/(16 - x^2), необходимо рассмотреть два условия, которые должны быть выполнены одновременно:

1. Условие для числителя: Сначала нужно убедиться, что под корнем (x^2 - 3x - 4) не отрицательное число, так как корень из отрицательного числа в действительных числах не определен.
2. Условие для знаменателя: Затем необходимо убедиться, что знаменатель (16 - x^2) не равен нулю, так как деление на ноль также не определено.

Теперь давайте разберем каждое из условий по отдельности.

1. Условие для числителя:

Решаем неравенство:

x^2 - 3x - 4 ≥ 0

Для этого найдем корни квадратного уравнения x^2 - 3x - 4 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25.
• Корни уравнения: x1 = (3 + sqrt(25))/2 = 4 и x2 = (3 - sqrt(25))/2 = -1.

Теперь, используя корни, определим промежутки, где неравенство выполняется. Мы исследуем знаки функции на интервалах:

• (-∞, -1)
• (-1, 4)
• (4, +∞)

Проверяем знаки в каждом из интервалов:

• На интервале (-∞, -1) функция положительна.
• На интервале (-1, 4) функция отрицательна.
• На интервале (4, +∞) функция положительна.

Таким образом, неравенство x^2 - 3x - 4 ≥ 0 выполняется на интервалах:

x ≤ -1 или x ≥ 4.

2. Условие для знаменателя:

Решаем уравнение:

16 - x^2 ≠ 0

Это уравнение можно переписать как:

x^2 ≠ 16.

Корни этого уравнения: x = ±4. Таким образом, x не может равняться 4 и -4.

Теперь объединим оба условия:

• Из первого условия: x ≤ -1 или x ≥ 4.
• Из второго условия: x ≠ 4.

Итак, область определения функции будет:

x ≤ -1 или x > 4.

В заключение, область определения функции y = (sqrt(x^2 - 3x - 4))/(16 - x^2) записывается как:

(-∞, -1] ∪ (4, +∞).