Чтобы найти область определения функций, необходимо определить, при каких значениях x выражения внутри логарифмов и делений являются допустимыми. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

• Логарифм определен только для положительных аргументов. Поэтому необходимо, чтобы:
• x^2 + 4x > 0
• Решим неравенство:
1. Вынесем x: x(x + 4) > 0
2. Найдем корни: x = 0 и x = -4.
3. Теперь определим знаки произведения:
4. На числовой прямой выделяем интервалы: (-∞, -4), (-4, 0), (0, +∞).
5. Проверяем знаки в каждом интервале.
6. Для (-∞, -4) – положительное; (-4, 0) – отрицательное; (0, +∞) – положительное.
7. Таким образом, неравенство выполняется в интервалах: (-∞, -4) и (0, +∞).
• Область определения функции f(x): x ∈ (-∞, -4) ∪ (0, +∞).

• Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому:
• lg(16 - x^2) > 0 и lg(3 - x) > 0.
• Решим каждое неравенство:
1. Для lg(16 - x^2) > 0: 16 - x^2 > 0, то есть x^2 < 16. Это дает: -4 < x < 4.
2. Для lg(3 - x) > 0: 3 - x > 0, то есть x < 3.
• Теперь найдем пересечение условий:
• Объединяя: -4 < x < 3.
• Таким образом, область определения функции g(x): x ∈ (-4, 3).

• Логарифм определен только для положительных аргументов, поэтому:
• x - 5 > 0 и x^2 - 16 > 0.
• Решим каждое неравенство:
1. Для x - 5 > 0: x > 5.
2. Для x^2 - 16 > 0: x^2 > 16, то есть x < -4 или x > 4.
• Теперь найдем пересечение условий:
• У нас есть x > 5 и x > 4. Таким образом, область определения функции p(x): x ∈ (5, +∞).

В итоге, области определения функций:

• f(x): x ∈ (-∞, -4) ∪ (0, +∞)
• g(x): x ∈ (-4, 3)
• p(x): x ∈ (5, +∞)