Чтобы найти сумму целых значений аргумента, которые принадлежат области определения функции f(x) = √(1 + (2x + 11)/(x² - 6x - 7)) - √(81 - x²), необходимо определить, при каких значениях x выражение под корнями определено и неотрицательно.

1. Рассмотрим первое слагаемое: √(1 + (2x + 11)/(x² - 6x - 7)).

• Для этого выражения необходимо, чтобы 1 + (2x + 11)/(x² - 6x - 7) ≥ 0.
• Это неравенство выполняется, когда (2x + 11)/(x² - 6x - 7) ≥ -1.

2. Перепишем это неравенство:

• Умножим обе стороны на (x² - 6x - 7), учитывая, что знак неравенства может поменяться в зависимости от знака выражения (x² - 6x - 7).
• Получаем: 2x + 11 ≥ -(x² - 6x - 7), что упрощается до x² - 8x - 18 ≥ 0.

3. Найдем корни квадратного уравнения x² - 8x - 18 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = (-8)² - 4 * 1 * (-18) = 64 + 72 = 136.
• Корни: x = (8 ± √136)/2.

4. Приблизительно вычисляем корни:

• √136 ≈ 11.66, следовательно, x₁ ≈ 9.83 и x₂ ≈ -1.83.

5. Теперь определяем промежутки, в которых неравенство x² - 8x - 18 ≥ 0 выполняется:

• Это будет (-∞, -1.83] ∪ [9.83, +∞).

6. Теперь рассмотрим второе слагаемое: √(81 - x²).

• Для него необходимо, чтобы 81 - x² ≥ 0, что приводит к -9 ≤ x ≤ 9.

7. Теперь мы должны найти пересечение двух областей:

• Первая область: (-∞, -1.83] ∪ [9.83, +∞).
• Вторая область: [-9, 9].

8. Пересечение данных областей дает нам:

• [-9, -1.83].

9. Теперь найдем целые значения в этом промежутке:

• Целые значения: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2.

10. Найдем сумму этих целых значений:

• Сумма = -9 + (-8) + (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) = -44.

Таким образом, сумма целых значений аргумента, которые принадлежат области определения функции, равна -44.