Похожие вопросы
2025-10-24 22:22:59
Какова сумма корней (или единственного корня) уравнения 5√((x-2)/(6-5x+x^2)) - 2√((6-5x+x^2)/(x-2)) = 9? В ответе укажите результат, умноженный на 12.
Алгебра 9 класс Сумма корней уравнений сумма корней уравнения корни уравнения алгебра 9 класс уравнение с корнями решение уравнения алгебраические уравнения математические задачи квадратные корни преобразование уравнений методы решения уравнений Новый
2025-10-24 22:23:28
Решим уравнение:
5√((x-2)/(6-5x+x^2)) - 2√((6-5x+x^2)/(x-2)) = 9.
Для удобства обозначим:
- a = √((x-2)/(6-5x+x^2))
- b = √((6-5x+x^2)/(x-2)
Тогда уравнение можно переписать в виде:
5a - 2b = 9.
Заметим, что a * b = 1, так как:
√((x-2)/(6-5x+x^2)) * √((6-5x+x^2)/(x-2)) = 1.
Теперь выразим b через a:
b = 1/a.
Подставим b в уравнение:
5a - 2(1/a) = 9.
Умножим обе стороны на a, чтобы избавиться от дроби:
5a^2 - 2 = 9a.
Перепишем уравнение:
5a^2 - 9a - 2 = 0.
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 5 * (-2) = 81 + 40 = 121.
Корни уравнения можно найти по формуле:
- a1 = (9 + √D) / (2 * 5)
- a2 = (9 - √D) / (2 * 5)
Подставляем значение D:
- a1 = (9 + 11) / 10 = 20 / 10 = 2.
- a2 = (9 - 11) / 10 = -2 / 10 = -0.2.
Теперь найдем соответствующие значения x для каждого из a:
Для a = 2:
2 = √((x-2)/(6-5x+x^2)) => 4 = (x-2)/(6-5x+x^2).
Переписываем уравнение:
4(6-5x+x^2) = x - 2.
24 - 20x + 4x^2 = x - 2.
4x^2 - 21x + 26 = 0.
Теперь находим дискриминант:
- D = (-21)^2 - 4 * 4 * 26 = 441 - 416 = 25.
Находим корни:
- x1 = (21 + 5) / 8 = 26 / 8 = 3.25.
- x2 = (21 - 5) / 8 = 16 / 8 = 2.
Теперь проверим a = -0.2:
-0.2 = √((x-2)/(6-5x+x^2)).
Это невозможно, так как корень не может быть отрицательным.
Таким образом, у нас есть только один корень x = 3.25.
Теперь находим сумму корней (в данном случае это просто 3.25) и умножаем на 12:
Сумма корней = 3.25 * 12 = 39.
Ответ: 39.