Чтобы найти сумму квадратов корней уравнения x^2 + 5x - 8 = 2√(x^2 + 5x + 7), начнем с того, что упростим это уравнение.

1. Переносим все члены в одну сторону:

• x^2 + 5x - 8 - 2√(x^2 + 5x + 7) = 0

2. Обозначим y = x^2 + 5x. Тогда уравнение можно переписать как:

• y - 8 - 2√(y + 7) = 0

3. Переносим 8 на другую сторону:

• y - 8 = 2√(y + 7)

4. Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

• (y - 8)^2 = (2√(y + 7))^2

5. Раскрываем скобки:

• y^2 - 16y + 64 = 4(y + 7)

6. Упрощаем правую часть:

• y^2 - 16y + 64 = 4y + 28

7. Переносим все члены в одну сторону:

• y^2 - 20y + 36 = 0

8. Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• y = (20 ± √(20^2 - 4*1*36)) / (2*1)

9. Считаем дискриминант:

• D = 20^2 - 4*1*36 = 400 - 144 = 256

10. Теперь находим корни:

• y1 = (20 + √256) / 2 = (20 + 16) / 2 = 18
• y2 = (20 - √256) / 2 = (20 - 16) / 2 = 2

11. Теперь возвращаемся к переменной x, используя y = x^2 + 5x:

• Для y1 = 18: x^2 + 5x - 18 = 0
• Для y2 = 2: x^2 + 5x - 2 = 0

12. Решаем первое уравнение:

• D1 = 5^2 - 4*1*(-18) = 25 + 72 = 97
• x1,2 = (-5 ± √97) / 2

13. Решаем второе уравнение:

• D2 = 5^2 - 4*1*(-2) = 25 + 8 = 33
• x3,4 = (-5 ± √33) / 2

14. Теперь найдем сумму квадратов корней:

• Сумма квадратов корней x1 и x2: ((-5 + √97) / 2)^2 + ((-5 - √97) / 2)^2 = (25 + 97)/4 = 30.5
• Сумма квадратов корней x3 и x4: ((-5 + √33) / 2)^2 + ((-5 - √33) / 2)^2 = (25 + 33)/4 = 14.5

15. Общая сумма квадратов корней:

• 30.5 + 14.5 = 45

Ответ: Сумма квадратов корней уравнения равна 45.