2025-10-24 21:26:53
Какова сумма ряда $x_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$, если воспользоваться неравенством $$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}$$ для значений n, начиная с 2?
Алгебра 9 класс Суммы рядов Сумма ряда алгебра 9 класс неравенство ряд последовательности математический анализ решение задачи дроби пределы математическая статистика Новый
2025-10-24 21:27:19
Для нахождения суммы ряда x_n = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} мы можем использовать данное неравенство:
Неравенство: 1/n^2 < 1/(n-1) - 1/n для n ≥ 2.
Теперь давайте разберем шаги решения:
-
Для начала, давайте выразим x_n через сумму:
x_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}
-
Теперь применим неравенство к каждому члену суммы:
Для k = 2, 3, ..., n мы можем записать:
\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}
Таким образом, для суммы от 2 до n получаем:
\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right)
-
Теперь давайте упростим правую часть:
Сумма \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) является телескопической:
При раскрытии скобок мы получим:
(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n})
В итоге все промежуточные члены сократятся, и останется:
1 - \frac{1}{n}
-
Таким образом, мы можем записать:
\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 - \frac{1}{n}
-
Теперь подставим это обратно в выражение для x_n:
x_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n}
Таким образом, мы получили верхнюю границу для суммы ряда:
x_n < 2 - \frac{1}{n}
Теперь давайте рассмотрим нижнюю границу. Мы знаем, что 1/k^2 > 0 для всех k, и следовательно:
x_n > 1
В итоге мы можем заключить, что:
1 < x_n < 2 - \frac{1}{n}
С увеличением n, правая граница стремится к 2. Таким образом, можно сказать, что сумма ряда x_n стремится к 2 при n, стремящемся к бесконечности.