Какова величина второго члена бесконечной геометрической прогрессии, если сумма квадратов её членов в 3 раза больше суммы самих членов и в 3,6 раза меньше суммы четвёртых степеней этих же членов?

Алгебра 9 класс Бесконечная геометрическая прогрессия второй член прогрессии бесконечная геометрическая прогрессия сумма квадратов членов сумма членов прогрессии сумма четвёртых степеней членов Новый

Для решения данной задачи начнем с определения параметров бесконечной геометрической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель прогрессии как q. Тогда члены прогрессии будут выглядеть следующим образом:

• Первый член: a
• Второй член: aq
• Третий член: aq²
• Четвертый член: aq³
• И так далее...

Теперь найдем сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, которая выражается формулой:

S = a / (1 - q)

Сумма квадратов членов прогрессии будет:

S_квадратов = a² / (1 - q²)

Сумма четвертых степеней членов прогрессии будет:

S_четвертых = a⁴ / (1 - q⁴)

По условию задачи, сумма квадратов в 3 раза больше суммы самих членов:

S_квадратов = 3S

Подставим выражения для S и S_квадратов:

a² / (1 - q²) = 3 * (a / (1 - q))

Умножим обе стороны на (1 - q)(1 - q²):

a²(1 - q) = 3a(1 - q²)

Раскроем скобки:

a² - a²q = 3a - 3aq²

Переносим все на одну сторону:

a² + 3aq² - 3a - a²q = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно q.

Следующий шаг: учитываем второе условие, что сумма квадратов в 3.6 раз меньше суммы четвертых степеней:

S_квадратов = (1/3.6) * S_четвертых

Подставим выражения для S_четвертых и S_квадратов:

a² / (1 - q²) = (1/3.6) * (a⁴ / (1 - q⁴))

Умножим обе стороны на (1 - q²)(1 - q⁴):

a²(1 - q⁴) = (1/3.6) * a⁴(1 - q²)

Раскроем скобки и упростим:

a² - a²q⁴ = (1/3.6)a⁴ - (1/3.6)a⁴q²

Теперь у нас есть две системы уравнений, которые можно решить для a и q. После нахождения q, мы можем найти второй член прогрессии:

Второй член: aq

Таким образом, мы получим значение второго члена бесконечной геометрической прогрессии, используя найденные значения a и q.