Для нахождения первообразных (интегралов) данных функций, мы будем использовать основные правила интегрирования. Рассмотрим каждую функцию по отдельности.

Для нахождения первообразной этой функции, мы применяем правило интегрирования для степенных функций:

1. Интеграл x^n = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

Теперь применим это правило:

1. Интеграл от x^3: (x^4)/4.
2. Интеграл от -2x^2: -2 * (x^3)/3 = -2x^3/3.

Таким образом, первообразная будет:

F(x) = (x^4)/4 - (2x^3)/3 + C.

Здесь мы можем использовать замену переменной. Обозначим t = √x, тогда x = t^2 и dx = 2t dt. Функция становится:

f(t) = 1/(t - 5).

Теперь можем найти интеграл:

∫(1/(t - 5)) dt = ln|t - 5| + C = ln|√x - 5| + C.

Для нахождения первообразной функции, мы используем стандартный интеграл для синуса:

1. ∫sin(kx) dx = -1/k * cos(kx) + C.

В данном случае k = 3, поэтому:

F(x) = (1/3) * cos(3x - π/4) + C.

Эта функция может быть преобразована с использованием тригонометрической идентичности:

2/cos²(2x) = 2 * sec²(2x).

Теперь используем интеграл от sec²:

1. ∫sec²(kx) dx = (1/k) * tan(kx) + C.

Таким образом, для k = 2:

F(x) = (1/2) * tan(2x) + C.

Для этой функции мы также будем использовать правило интегрирования для степенных функций и для косинуса:

1. ∫(1/x^n) dx = -1/(n-1)x^(n-1) + C для n ≠ 1.
2. ∫cos(kx) dx = (1/k) * sin(kx) + C.

Теперь найдем первообразную:

1. Интеграл от 1/x³: -1/(2x²).
2. Интеграл от cos(4x): (1/4) * sin(4x).

Таким образом, первообразная будет:

F(x) = -1/(2x²) + (1/4) * sin(4x) + C.

В итоге, мы нашли первообразные для всех указанных функций. Не забывайте, что C - это произвольная константа интегрирования, которая добавляется к каждой первообразной.