Для решения данной задачи нам нужно проанализировать систему уравнений:

• (x^2 + y + 8x + 4) √(y + x + 4) = 0
• y = a(x - 1)

Сначала разберем первое уравнение. Мы видим, что произведение двух множителей равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: x^2 + y + 8x + 4 = 0.
2. Второй множитель равен нулю: √(y + x + 4) = 0.

Начнем с второго случая:

√(y + x + 4) = 0 означает, что y + x + 4 = 0, откуда следует:

y = -x - 4.

Теперь подставим это значение y во второе уравнение:

-x - 4 = a(x - 1).

Решим это уравнение относительно x:

-x - 4 = ax - a.

Соберем все x в одну сторону:

-x - ax = -a + 4.

(-1 - a)x = -a + 4.

Теперь выразим x:

x = (4 - a) / (1 + a), если a ≠ -1.

Теперь рассмотрим первый случай, когда x^2 + y + 8x + 4 = 0. Подставим сюда y = a(x - 1):

x^2 + a(x - 1) + 8x + 4 = 0.

x^2 + ax - a + 8x + 4 = 0.

x^2 + (a + 8)x + (4 - a) = 0.

Это квадратное уравнение, и мы хотим, чтобы у него было ровно два различных корня. Для этого дискриминант D должен быть положительным:

D = (a + 8)^2 - 4(1)(4 - a) > 0.

Теперь найдем дискриминант:

D = (a + 8)^2 - 16 + 4a = a^2 + 16a + 64 - 16 + 4a = a^2 + 20a + 48.

Теперь решим неравенство:

a^2 + 20a + 48 > 0.

Для этого найдем корни квадратного уравнения a^2 + 20a + 48 = 0:

D' = 20^2 - 4 * 1 * 48 = 400 - 192 = 208.

Корни:

a1,2 = (-20 ± √208) / 2 = (-20 ± 4√13) / 2 = -10 ± 2√13.

Теперь у нас есть два корня: a1 = -10 + 2√13 и a2 = -10 - 2√13.

Поскольку это параболическое неравенство, оно будет положительным вне интервала, определяемого корнями:

a < -10 - 2√13 или a > -10 + 2√13.

Таким образом, все значения a, при которых система уравнений имеет ровно два различных значения, будут:

a < -10 - 2√13 или a > -10 + 2√13.