Решение неравенства (3x-2)(x+1)(4-x) < 0 методом интервалов состоит из нескольких шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала нужно найти значения x, при которых произведение (3x-2)(x+1)(4-x) равно нулю. Это произойдет, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый множитель:

• 3x - 2 = 0 → 3x = 2 → x = 2/3
• x + 1 = 0 → x = -1
• 4 - x = 0 → x = 4

Таким образом, нули функции: x = -1, x = 2/3, x = 4.

Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные нули:

• (-∞, -1)
• (-1, 2/3)
• (2/3, 4)
• (4, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство (3x-2)(x+1)(4-x) для определения знака:

• Для интервала (-∞, -1): возьмем x = -2
• (3*(-2)-2)(-2+1)(4-(-2)) = (-6-2)(-1)(6) = (-8)(-1)(6) = 48 > 0
• Для интервала (-1, 2/3): возьмем x = 0
• (3*(0)-2)(0+1)(4-0) = (-2)(1)(4) = -8 < 0
• Для интервала (2/3, 4): возьмем x = 1
• (3*(1)-2)(1+1)(4-1) = (3-2)(2)(3) = (1)(2)(3) = 6 > 0
• Для интервала (4, +∞): возьмем x = 5
• (3*(5)-2)(5+1)(4-5) = (15-2)(6)(-1) = (13)(6)(-1) = -78 < 0

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-∞, -1) функция положительна.
• На интервале (-1, 2/3) функция отрицательна.
• На интервале (2/3, 4) функция положительна.
• На интервале (4, +∞) функция отрицательна.

Неравенство (3x-2)(x+1)(4-x) < 0 выполняется на интервалах, где функция отрицательна:

Ответ: x ∈ (-1, 2/3) ∪ (4, +∞).