Давайте разберем каждую из заданных квадратичных функций по пунктам: направление ветвей параболы, точку вершины, уравнение оси симметрии и точки пересечения с осями координат.

1) Функция p(x) = -2x² - 15x + 8

• Направление ветвей параболы: Поскольку коэффициент при x² отрицательный (-2), ветви параболы направлены вниз.
• Точка вершины: Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулу x = -b/(2a), где a = -2 и b = -15.
  1. Находим x: x = -(-15)/(2 * -2) = 15/(-4) = -3.75.
  2. Теперь подставим x в функцию p(x) для нахождения y: p(-3.75) = -2(-3.75)² - 15(-3.75) + 8 = -2(14.0625) + 56.25 + 8 = -28.125 + 56.25 + 8 = 36.125.
  3. Таким образом, точка вершины: (-3.75, 36.125).
• Уравнение оси симметрии: Ось симметрии находится по формуле x = -b/(2a), то есть x = -3.75.
• Точки пересечения с осями координат:
  1. С осью y: p(0) = 8. Точка пересечения с осью y: (0, 8).
  2. С осью x: -2x² - 15x + 8 = 0. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = (-15)² - 4*(-2)*8 = 225 + 64 = 289. Корни: x1 = (15 + √289)/(-4) и x2 = (15 - √289)/(-4). Это дает два корня: (-1, 0) и (4, 0).

2) Функция m(x) = -x² - 6x - 5

• Направление ветвей параболы: Коэффициент при x² отрицательный (-1), значит, ветви направлены вниз.
• Точка вершины: x = -b/(2a) = -(-6)/(2*(-1)) = 6/(-2) = -3. Подставляем x в функцию: m(-3) = -(-3)² - 6*(-3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4. Точка вершины: (-3, 4).
• Уравнение оси симметрии: x = -3.
• Точки пересечения с осями координат:
  1. С осью y: m(0) = -5. Точка (0, -5).
  2. С осью x: -x² - 6x - 5 = 0. Дискриминант D = (-6)² - 4*(-1)*(-5) = 36 - 20 = 16. Корни: x1 = (6 + √16)/(-2) и x2 = (6 - √16)/(-2). Это дает корни: (-1, 0) и (-5, 0).

3) Функция n(x) = 3x² + 11x - 4

• Направление ветвей параболы: Коэффициент при x² положительный (3), значит, ветви направлены вверх.
• Точка вершины: x = -b/(2a) = -11/(2*3) = -11/6. Подставляем x в функцию: n(-11/6) = 3(-11/6)² + 11*(-11/6) - 4 = 3*(121/36) - 121/6 - 4. После упрощения получаем: (121/12) - (242/12) - (48/12) = -169/12. Точка вершины: (-11/6, -169/12).
• Уравнение оси симметрии: x = -11/6.
• Точки пересечения с осями координат:
  1. С осью y: n(0) = -4. Точка (0, -4).
  2. С осью x: 3x² + 11x - 4 = 0. Дискриминант D = 11² - 4*3*(-4) = 121 + 48 = 169. Корни: x1 = (-11 + √169)/6 и x2 = (-11 - √169)/6. Это дает корни: (1/3, 0) и (-4, 0).

Таким образом, мы рассмотрели все три функции и определили их характеристики. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!