Чтобы построить график функции у = -х² - 4х + 5, давайте сначала разберемся с её характеристиками. Эта функция является квадратичной и имеет вид параболы. Парабола открыта вниз, так как коэффициент перед х² отрицательный.

Шаг 1: Найдем вершину параболы.

Вершина параболы находится по формуле:

• x_вершины = -b / (2a), где a = -1, b = -4.

Подставляем значения:

• x_вершины = -(-4) / (2 * -1) = 4 / -2 = -2.

Теперь найдем значение функции в этой точке:

• y_вершины = -(-2)² - 4 * (-2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, 9).

Шаг 2: Построим график.

Теперь можем построить график функции, отметив вершину и несколько дополнительных точек. Например, подставим x = -3 и x = -1:

• Для x = -3: y = -(-3)² - 4 * (-3) + 5 = -9 + 12 + 5 = 8.
• Для x = -1: y = -(-1)² - 4 * (-1) + 5 = -1 + 4 + 5 = 8.

Эти точки (-3, 8) и (-1, 8) также можно отметить на графике.

Шаг 3: Найдем область определения и область значения.

• Область определения: Это все значения x, которые могут принимать, то есть R (все действительные числа).
• Область значения: Поскольку парабола открыта вниз, максимальное значение функции равно 9 (в вершине). Значит, область значения: (-∞, 9].

Шаг 4: Найдем нули функции.

Нули функции находятся, когда y = 0:

• 0 = -x² - 4x + 5.

Решим это уравнение:

• x² + 4x - 5 = 0.

Используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 4² - 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.

Корни уравнения:

• x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-4 + 6) / 2 = 1;
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-4 - 6) / 2 = -5.

Таким образом, нули функции: x₁ = 1 и x₂ = -5.

Шаг 5: Промежутки знакопостоянства.

Функция меняет знак в точках, где она равна нулю, то есть в точках x = -5 и x = 1:

• Для x < -5: y > 0;
• Для -5 < x < 1: y < 0;
• Для x > 1: y > 0.

Таким образом, промежутки знакопостоянства:

• (-∞, -5) и (1, +∞) - положительные;
• (-5, 1) - отрицательный.

Шаг 6: Промежутки убывания и возрастания.

Функция возрастает на промежутке (-∞, -2) и убывает на промежутке (-2, +∞).

Шаг 7: Наименьшее и наибольшее значение функции.

Наибольшее значение функции равно 9 (в вершине), а наименьшее значение стремится к -∞.

Теперь, когда мы разобрали все шаги, вы можете построить график функции и отметить все найденные характеристики.