Давайте разберем, как построить график функции y = -2x^2 - 4x + 6 и найти необходимые характеристики.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция y = -2x^2 - 4x + 6 является полиномиальной, и ее область определения - это все действительные числа. То есть:

• Область определения: x ∈ R.

Шаг 2: Находим вершину параболы

Так как перед x^2 стоит отрицательный коэффициент (-2), график функции будет иметь форму перевернутой параболы. Чтобы найти вершину, используем формулу:

• x_вершины = -b / (2a), где a = -2, b = -4.

Подставляем значения:

• x_вершины = -(-4) / (2 * -2) = 4 / -4 = -1.

Теперь подставим x_вершины в исходное уравнение для нахождения y_вершины:

• y_вершины = -2(-1)^2 - 4(-1) + 6 = -2(1) + 4 + 6 = -2 + 4 + 6 = 8.

Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, 8).

Шаг 3: Определяем промежутки возрастания и убывания

Так как парабола открыта вниз, функция будет возрастать на промежутке (-∞, -1) и убывать на промежутке (-1, ∞):

• Промежутки возрастания: (-∞, -1).
• Промежутки убывания: (-1, ∞).

Шаг 4: Находим наибольшее значение функции

Наибольшее значение функции - это значение в вершине параболы, то есть:

• Наибольшее значение функции: y = 8.

Шаг 5: Находим, при каких значениях x y > 0

Чтобы найти, при каких значениях x функция положительна, решим неравенство:

• -2x^2 - 4x + 6 > 0.

Для этого найдем корни уравнения -2x^2 - 4x + 6 = 0:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * (-2) * 6 = 16 + 48 = 64.
• Корни: x1 = (-b + √D) / (2a) и x2 = (-b - √D) / (2a).

Подставляем значения:

• x1 = (4 + 8) / -4 = -3, x2 = (4 - 8) / -4 = 1.

Теперь решим неравенство. Парабола отрицательная между корнями, поэтому:

• y > 0 при x ∈ (-3, 1).

Шаг 6: Определяем область значения функции

Область значения функции - это все значения y, которые может принимать функция. Поскольку парабола открыта вниз и наибольшее значение y = 8, область значения:

• Область значения: y ∈ (-∞, 8].

Итак, подытожим:

• Область определения: x ∈ R.
• Промежутки возрастания: (-∞, -1).
• Промежутки убывания: (-1, ∞).
• Наибольшее значение функции: 8.
• y > 0 при x ∈ (-3, 1).
• Область значения: y ∈ (-∞, 8].

Теперь вы можете построить график функции, используя полученные данные!