Чтобы определить, при каких значениях x выражение √((x - 2) - √(x + 1)) определено, нужно учитывать два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: (x - 2) - √(x + 1) ≥ 0.
2. Подкоренное выражение внутри второго корня также должно быть неотрицательным: x + 1 ≥ 0.

Теперь давайте разберем каждое из условий по порядку.

Шаг 1: Решим первое неравенство (x - 2) - √(x + 1) ≥ 0.

Перепишем это неравенство:

x - 2 ≥ √(x + 1).

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе стороны в квадрат (учтите, что при этом нужно следить за тем, что обе стороны неотрицательны):

(x - 2)² ≥ x + 1.

Раскроем левую часть:

x² - 4x + 4 ≥ x + 1.

Переносим все в одну сторону:

x² - 4x + 4 - x - 1 ≥ 0,

что упрощается до:

x² - 5x + 3 ≥ 0.

Теперь найдем корни квадратного уравнения x² - 5x + 3 = 0 с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 1 * 3 = 25 - 12 = 13.

Корни будут:

x₁ = (5 + √13) / 2, x₂ = (5 - √13) / 2.

Теперь необходимо определить, где функция x² - 5x + 3 неотрицательна. У нас есть два корня, и мы можем использовать тестовые точки или анализировать знаки на промежутках:

• (-∞, (5 - √13) / 2): положительное.
• ((5 - √13) / 2, (5 + √13) / 2): отрицательное.
• ((5 + √13) / 2, +∞): положительное.

Таким образом, первое неравенство выполняется на промежутках:

x ≤ (5 - √13) / 2 или x ≥ (5 + √13) / 2.

Шаг 2: Решим второе неравенство x + 1 ≥ 0.

x ≥ -1.

Шаг 3: Объединим результаты.

Теперь нам нужно найти пересечение условий:

• x ≤ (5 - √13) / 2;
• x ≥ (5 + √13) / 2;
• x ≥ -1.

Поскольку (5 - √13) / 2 примерно равно 0.697, а (5 + √13) / 2 примерно равно 4.303, пересечение условий будет:

x ≤ (5 - √13) / 2 или x ≥ 4.303.

Таким образом, выражение √((x - 2) - √(x + 1)) определено при:

x ≤ (5 - √13) / 2 или x ≥ (5 + √13) / 2.