При каком значении "а" уравнение 3х^2 - (2а + 1)х + 2 = 0 имеет два корня, один из которых на 1/3 больше другого?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметрами уравнение два корня алгебра 9 класс значение а корни уравнения Новый

Чтобы решить данную задачу, нам нужно определить значение "а", при котором уравнение 3х^2 - (2а + 1)x + 2 = 0 имеет два корня, один из которых на 1/3 больше другого. Для этого следуем следующим шагам:

1. Обозначим корни уравнения: Пусть корни уравнения обозначим как x1 и x2. По условию задачи, x2 = x1 + (1/3)x1 = (4/3)x1.
2. Используем формулы Viète: По теореме Виета, сумма корней (x1 + x2) равна -b/a, а произведение корней (x1 * x2) равно c/a, где a, b и c - коэффициенты уравнения.
3. Запишем уравнения для суммы и произведения корней:
• Сумма корней: x1 + x2 = x1 + (4/3)x1 = (7/3)x1 = (2а + 1)/3.
• Произведение корней: x1 * x2 = x1 * (4/3)x1 = (4/3)x1^2 = 2/3.
4. Решим первое уравнение: Из уравнения суммы корней (7/3)x1 = (2а + 1)/3 мы можем выразить x1:
• x1 = (2а + 1) / 7.
5. Подставим x1 в уравнение для произведения: Теперь подставим значение x1 в уравнение для произведения:
• (4/3) * ((2а + 1) / 7)^2 = 2/3.
6. Упростим уравнение: Умножим обе стороны на 3:
• 4 * ((2а + 1)^2 / 49) = 2.
7. Умножим обе стороны на 49:
• 4(2а + 1)^2 = 98.
8. Разделим обе стороны на 4:
• (2а + 1)^2 = 24.5.
9. Извлечем квадратный корень: Извлечем корень из обеих сторон:
• 2а + 1 = ±√24.5.
10. Решим для "а": Теперь выразим "а":
• а = (±√24.5 - 1) / 2.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для "а". Подсчитаем:

• а1 = (√24.5 - 1) / 2,
• а2 = (-√24.5 - 1) / 2.

Теперь, подставив значение √24.5, мы можем найти численные значения для "а". Но в любом случае, эти два значения "а" удовлетворяют условию задачи, что уравнение имеет два корня, один из которых на 1/3 больше другого.