Для решения уравнения |x + 1| + |x – 3| = a и определения значений параметра a, при которых корень уравнения принадлежит промежутку [-1; 3], начнем с анализа выражения |x + 1| + |x – 3|.

Данное выражение представляет собой сумму двух модулей. Чтобы упростить задачу, рассмотрим различные случаи в зависимости от значений x.

• Случай 1: x < -1
• В этом случае |x + 1| = - (x + 1) = -x - 1 и |x - 3| = - (x - 3) = -x + 3.
• Следовательно, |x + 1| + |x - 3| = -x - 1 - x + 3 = -2x + 2.
• Случай 2: -1 ≤ x < 3
• Здесь |x + 1| = x + 1 и |x - 3| = - (x - 3) = -x + 3.
• Таким образом, |x + 1| + |x - 3| = x + 1 - x + 3 = 4.
• Случай 3: x ≥ 3
• В этом случае |x + 1| = x + 1 и |x - 3| = x - 3.
• Следовательно, |x + 1| + |x - 3| = x + 1 + x - 3 = 2x - 2.

Теперь мы можем подвести итоги по каждому из случаев:

1. Для x < -1: |x + 1| + |x - 3| = -2x + 2. Это выражение возрастает при увеличении x.
2. Для -1 ≤ x < 3: |x + 1| + |x - 3| = 4. Здесь значение постоянно равно 4.
3. Для x ≥ 3: |x + 1| + |x - 3| = 2x - 2. Это выражение также возрастает при увеличении x.

Теперь определим, при каких значениях a выражение |x + 1| + |x - 3| попадает в промежуток [-1; 3].

• Для x < -1: |x + 1| + |x - 3| = -2x + 2 должно быть больше или равно -1. Решим это неравенство:
• -2x + 2 ≥ -1
• -2x ≥ -3
• x ≤ 3/2
• Также оно должно быть меньше или равно 3:
• -2x + 2 ≤ 3
• -2x ≤ 1
• x ≥ -1/2
• Таким образом, для x < -1 мы получаем, что x должно быть в промежутке [-1/2; 3/2], что не соответствует данному случаю.

Для случая -1 ≤ x < 3 значение |x + 1| + |x - 3| = 4, следовательно, a = 4.

Для случая x ≥ 3: |x + 1| + |x - 3| = 2x - 2 должно быть больше или равно -1:

• 2x - 2 ≥ -1
• 2x ≥ 1
• x ≥ 1/2
• А также 2x - 2 ≤ 3:
• 2x ≤ 5
• x ≤ 5/2

Таким образом, для x ≥ 3 мы получаем, что x должно быть в промежутке [1/2; 5/2], что также не соответствует данному случаю.

В итоге, мы видим, что a должно быть равно 4, чтобы корень уравнения принадлежал промежутку [-1; 3].

Ответ: a = 4

При каком значении параметра a, корень уравнения принадлежит промежутку [-1; 3]?

|x + 1| + |x – 3| = a

имеем  3 промежутка

I.  x<=-1

II.  -1<x<3

III.  x>=3

рассмотрим уравнение на каждом промежутке

I.   -x-1+3-x=a

-2x=a-2

x=1-a/2       1-a/2<=-1   a/2>=2   a>=4

-1<=1-a/2<=3

-2<=-a/2<=2     -4<=a<=4   a=4  x=1-2=-1∈[-1;3]

II. x+1+3-x=a   4=a

III

x+1+x-3=a

2x=a+2

x=a/2+1 >=3   a>=4

-2<=a/2<=2

-4<=a<=4

ответ a=4