Для решения иррационального уравнения √(5x + 1) + √(7 - x) = 6, следуем следующим шагам:

Переносим один из корней на правую сторону уравнения:

√(5x + 1) = 6 - √(7 - x)

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(√(5x + 1))^2 = (6 - √(7 - x))^2

Таким образом, получаем:

5x + 1 = 36 - 12√(7 - x) + (7 - x)

Упрощаем правую часть:

5x + 1 = 43 - x - 12√(7 - x)

Переносим 5x и 1 на правую сторону:

12√(7 - x) = 43 - 5x - 1

12√(7 - x) = 42 - 5x

Теперь делим обе стороны на 12:

√(7 - x) = (42 - 5x) / 12

Возводим обе стороны в квадрат:

7 - x = ((42 - 5x) / 12)^2

Теперь нужно упростить правую часть:

7 - x = (42 - 5x)^2 / 144

Умножаем обе стороны на 144, чтобы избавиться от дроби:

144(7 - x) = (42 - 5x)^2

1008 - 144x = 1764 - 420x + 25x^2

Переносим все на одну сторону:

25x^2 - 276x + 756 = 0

Теперь применяем формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 25, b = -276, c = 756.

Дискриминант D = b² - 4ac:

D = (-276)² - 4 * 25 * 756 = 76176 - 75600 = 576.

Теперь находим корни:

x1 = (276 + √576) / (2 * 25) = (276 + 24) / 50 = 300 / 50 = 6.

x2 = (276 - √576) / (2 * 25) = (276 - 24) / 50 = 252 / 50 = 5.04.

Подставляем x1 = 6 и x2 = 5.04 обратно в исходное уравнение, чтобы проверить, являются ли они решениями:

• Для x1 = 6: √(5*6 + 1) + √(7 - 6) = √31 + 1. Это не равно 6.
• Для x2 = 5.04: √(5*5.04 + 1) + √(7 - 5.04) = √(25.2 + 1) + √(1.96) = √26.2 + 1.4. Это тоже не равно 6.

Таким образом, у уравнения нет решений.