Чтобы решить неравенство x² - 2x - 48 > 0, сначала найдем корни соответствующего уравнения x² - 2x - 48 = 0. Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2
• c = -48

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

x = (2 ± √((-2)² - 4 * 1 * (-48))) / (2 * 1)

Сначала вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196

Теперь найдем корни:

x = (2 ± √196) / 2

Корень из 196 равен 14, поэтому:

x = (2 ± 14) / 2

Теперь найдем два корня:

• x₁ = (2 + 14) / 2 = 16 / 2 = 8
• x₂ = (2 - 14) / 2 = -12 / 2 = -6

Таким образом, корни уравнения x² - 2x - 48 = 0: x₁ = 8 и x₂ = -6.

Теперь мы можем построить числовую прямую и отметить на ней найденные корни:

Теперь необходимо определить знаки выражения x² - 2x - 48 на интервалах, которые определяются корнями:

• (-∞, -6)
• (-6, 8)
• (8, +∞)

Теперь проверим знак неравенства на каждом из интервалов:

1. Для интервала (-∞, -6), например, возьмем x = -7:
2. x² - 2x - 48 = (-7)² - 2*(-7) - 48 = 49 + 14 - 48 = 15 > 0. Знак положительный.
3. Для интервала (-6, 8), например, возьмем x = 0:
4. x² - 2x - 48 = 0² - 2*0 - 48 = -48 < 0. Знак отрицательный.
5. Для интервала (8, +∞), например, возьмем x = 9:
6. x² - 2x - 48 = 9² - 2*9 - 48 = 81 - 18 - 48 = 15 > 0. Знак положительный.

Теперь мы можем записать решение неравенства:

Неравенство x² - 2x - 48 > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -6)
• (8, +∞)

Таким образом, окончательный ответ:

x ∈ (-∞, -6) ∪ (8, +∞)