Решите следующие неравенства:

1. log(2)(7-x) + log(2)x >= 1 + log(2)(3)
2. log(0,5)(3x-1) - log(0,5)(x-1) <= 1 + log(2)(3)

Алгебра 9 класс Неравенства с логарифмами алгебра 9 класс неравенства логарифмы решение неравенств логарифмические неравенства Новый

Давайте решим каждое неравенство по отдельности. Начнем с первого неравенства:

1. Неравенство: log(2)(7-x) + log(2)x >= 1 + log(2)(3)

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что log(a)(b) + log(a)(c) = log(a)(b*c). Применим это свойство:

• log(2)((7-x)*x) >= 1 + log(2)(3)

Теперь перенесем 1 в левую часть. Для этого преобразуем 1 в логарифмическую форму:

• 1 = log(2)(2)

Таким образом, у нас получится:

• log(2)((7-x)*x) >= log(2)(6)

Теперь, так как логарифм - функция монотонная, мы можем убрать логарифмы, но при этом нужно учесть, что выражения под логарифмами должны быть положительными:

• (7-x)*x >= 6

Теперь решим неравенство:

• 7x - x^2 >= 6

Перепишем его в стандартной форме:

• -x^2 + 7x - 6 >= 0

Умножим на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

• x^2 - 7x + 6 <= 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения x^2 - 7x + 6 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4*1*6 = 49 - 24 = 25
• Корни: x1 = (7 + √25) / 2 = 6, x2 = (7 - √25) / 2 = 1

Теперь у нас есть корни 1 и 6. Мы можем построить интервал и проверить знак на каждом из них:

• Интервалы: (-∞, 1), (1, 6), (6, +∞)

Проверяем знак на каждом интервале:

• Для x < 1: (например, x = 0): 0^2 - 7*0 + 6 = 6 (положительное)
• Для 1 < x < 6: (например, x = 2): 2^2 - 7*2 + 6 = -6 (отрицательное)
• Для x > 6: (например, x = 7): 7^2 - 7*7 + 6 = 6 (положительное)

Таким образом, неравенство выполняется на интервале [1, 6]. Но не забываем про условия логарифмов:

• 7 - x > 0 => x < 7
• x > 0

Все условия выполняются, поэтому окончательный ответ для первого неравенства:

Ответ: [1, 6]

2. Неравенство: log(0,5)(3x-1) - log(0,5)(x-1)

Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое гласит, что log(a)(b) - log(a)(c) = log(a)(b/c). Применим это свойство:

• log(0,5)((3x-1)/(x-1)) <= 0

Теперь преобразуем неравенство в экспоненциальную форму. Поскольку основание логарифма 0,5 (меньше 1), знак неравенства поменяется:

• (3x-1)/(x-1) >= 1

Теперь умножим обе части на (x-1) (учтем, что x-1 должно быть положительным, то есть x > 1):

• 3x - 1 >= x - 1

Решим неравенство:

• 3x - x >= -1 + 1
• 2x >= 0
• x >= 0

Так как мы учли, что x > 1, это условие не противоречит найденному. Теперь также учтем, что (3x-1) > 0 и (x-1) > 0:

• 3x - 1 > 0 => x > 1/3
• x - 1 > 0 => x > 1

Таким образом, учитывая все условия, окончательный ответ для второго неравенства:

Ответ: (1, +∞)