Для решения уравнения 24 / (x² - 5|x|) = x² - 5|x| - 2 начнем с того, что упростим его, чтобы избавиться от дроби. Для этого умножим обе стороны уравнения на (x² - 5|x|), при условии, что (x² - 5|x|) ≠ 0.

Умножив обе стороны, получаем:

24 = (x² - 5|x|)(x² - 5|x| - 2)

Теперь, обозначим y = x² - 5|x|. Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

24 = y(y - 2)

Раскроем скобки:

24 = y² - 2y

Переносим все в одну сторону:

y² - 2y - 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-2)² - 4 * 1 * (-24) = 4 + 96 = 100.
• Корни уравнения находятся по формуле: y = (-b ± √D) / 2a.

Подставляем значения:

• y1 = (2 + 10) / 2 = 6
• y2 = (2 - 10) / 2 = -4

Теперь у нас есть два значения для y: y1 = 6 и y2 = -4. Вернемся к выражению y = x² - 5|x| и подставим найденные значения.

1. Для y1 = 6:

Получаем уравнение:

x² - 5|x| = 6

Решим это уравнение, рассматривая два случая для |x|.

• Случай 1: x ≥ 0, тогда |x| = x:

x² - 5x - 6 = 0

Решаем: D = (-5)² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.

Корни: x1 = (5 + 7) / 2 = 6, x2 = (5 - 7) / 2 = -1 (отбрасываем, так как x ≥ 0).

• Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x:

x² + 5x - 6 = 0

Решаем: D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49.

Корни: x1 = (-5 + 7) / 2 = 1, x2 = (-5 - 7) / 2 = -6 (здесь принимаем, так как x < 0).

Таким образом, для y1 = 6 мы получили два решения: x = 6 и x = -6.

2. Для y2 = -4:

Получаем уравнение:

x² - 5|x| = -4

Решим аналогично, рассматривая два случая.

• Случай 1: x ≥ 0, тогда |x| = x:

x² - 5x + 4 = 0

Решаем: D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

Корни: x1 = (5 + 3) / 2 = 4, x2 = (5 - 3) / 2 = 1.

• Случай 2: x < 0, тогда |x| = -x:

x² + 5x + 4 = 0

Решаем: D = 5² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

Корни: x1 = (-5 + 3) / 2 = -1, x2 = (-5 - 3) / 2 = -4.

Таким образом, для y2 = -4 мы получили еще четыре решения: x = 4, x = 1, x = -1 и x = -4.

Теперь подведем итог:

Все решения уравнения:

• x = 6
• x = -6
• x = 4
• x = 1
• x = -1
• x = -4

Таким образом, у нас есть шесть решений уравнения.