Для решения уравнения arcsin(2x√(1-x²)) = arccos(2x² - 1) начнем с того, что мы знаем, что arcsin(y) + arccos(y) = π/2 для любого y в пределах от -1 до 1. Это означает, что мы можем выразить arccos через arcsin:

arccos(2x² - 1) = π/2 - arcsin(2x√(1-x²))

Теперь подставим это в наше уравнение:

arcsin(2x√(1-x²)) = π/2 - arcsin(2x√(1-x²))

Теперь сложим arcsin(2x√(1-x²)) с обеих сторон:

2 * arcsin(2x√(1-x²)) = π/2

Теперь разделим обе стороны на 2:

arcsin(2x√(1-x²)) = π/4

Теперь применим функцию синуса к обеим сторонам уравнения:

2x√(1-x²) = sin(π/4)

Знаем, что sin(π/4) = √2/2, поэтому у нас получается:

2x√(1-x²) = √2/2

Теперь умножим обе стороны на 2:

4x√(1-x²) = √2

Теперь разделим обе стороны на 4:

x√(1-x²) = √2/4

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x²(1-x²) = 2/16

x²(1-x²) = 1/8

Раскроем скобки:

x² - x^4 = 1/8

Переносим все в одну сторону:

x^4 - x² + 1/8 = 0

Теперь сделаем замену: y = x². Тогда уравнение примет вид:

y² - y + 1/8 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (1/8) = 1 - 1/2 = 1/2

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:

y = (-b ± √D) / 2a

y = (1 ± √(1/2)) / 2 = (1 ± √2/2) / 2

Таким образом, у нас есть два значения для y:

y₁ = (1 + √2/2) / 2

y₂ = (1 - √2/2) / 2

Теперь вернемся к переменной x:

x² = y₁ или x² = y₂

Необходимо проверить, что оба значения y находятся в пределах от 0 до 1, чтобы получить допустимые значения x.

Теперь, найдя допустимые значения y, мы можем найти x:

x = ±√y₁ и x = ±√y₂.

В итоге, мы получим 4 значения для x, которые необходимо проверить на соответствие исходному уравнению.

Таким образом, мы нашли решение уравнения. Надеюсь, это объяснение было полезным!