Давайте решим уравнение: z² - 2z(сопряжённый) + 22 = 0. Для начала, обозначим z как комплексное число, то есть z = x + yi, где x и y - действительная и мнимая части соответственно, а i - мнимая единица.

Сопряженное число к z обозначается как z(сопряжённый) = x - yi. Теперь подставим это в уравнение:

z² = (x + yi)² = x² + 2xyi - y² = (x² - y²) + (2xy)i.

Теперь подставим z и z(сопряжённый) в уравнение:

(x² - y²) + (2xy)i - 2(x + yi)(x - yi) + 22 = 0.

Вычислим 2z(сопряжённый):

• 2z(сопряжённый) = 2(x - yi) = 2x - 2yi.

Теперь подставим это в уравнение:

(x² - y²) + (2xy)i - (2x - 2yi) + 22 = 0.

Группируем действительные и мнимые части:

(x² - y² - 2x + 22) + (2xy + 2y)i = 0.

Теперь мы можем приравнять действительную и мнимую части к нулю:

1. Dействительная часть: x² - y² - 2x + 22 = 0.
2. Мнимая часть: 2xy + 2y = 0.

Решим второе уравнение:

2y(x + 1) = 0.

Это уравнение имеет два случая:

• Случай 1: y = 0.
• Случай 2: x + 1 = 0, то есть x = -1.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: y = 0.

Подставим y = 0 в первое уравнение:

x² - 0 - 2x + 22 = 0, что упрощается до:

x² - 2x + 22 = 0.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-2)² - 4 * 1 * 22 = 4 - 88 = -84.

Поскольку дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Случай 2: x = -1.

Теперь подставим x = -1 в первое уравнение:

(-1)² - y² - 2(-1) + 22 = 0.

Это упрощается до:

1 - y² + 2 + 22 = 0, или 25 - y² = 0.

Отсюда y² = 25, значит y = ±5.

Таким образом, у нас есть два решения:

• z = -1 + 5i,
• z = -1 - 5i.

Итак, итоговые решения уравнения z² - 2z(сопряжённый) + 22 = 0:

• z = -1 + 5i,
• z = -1 - 5i.