Давайте разберем вашу функцию y = 4/x + 3 по всем пунктам, которые вы указали.

Область определения функции - это все значения x, для которых функция имеет смысл. В данной функции y = 4/x + 3 мы видим, что делим на x. Значение x не может быть равно 0, так как деление на ноль не определено. Таким образом, область определения:

• x ∈ R, x ≠ 0

Теперь найдем область значений. Поскольку функция y = 4/x имеет асимптоты, давайте проанализируем ее поведение:

• Когда x → +∞, y → 3 (функция приближается к 3, но не достигает его).
• Когда x → -∞, y → 3 (функция также приближается к 3).
• Когда x → 0 с положительной стороны (x → 0+), y → +∞.
• Когда x → 0 с отрицательной стороны (x → 0-), y → -∞.

Таким образом, область значений функции:

• y ∈ R, y ≠ 3

Лучами функции будем считать поведение функции при x → +∞ и x → -∞. Мы уже выяснили, что:

• При x → +∞, y → 3.
• При x → -∞, y → 3.

Функция имеет горизонтальную асимптоту y = 3.

Чтобы проверить четность функции, нужно подставить -x вместо x:

y(-x) = 4/(-x) + 3 = -4/x + 3.

Это не равно y(x) = 4/x + 3, следовательно, функция нечетная.

Из анализа функции видно, что при x → 0+ функция стремится к +∞, а при x → 0- - к -∞. Таким образом, у функции нет наибольшего и наименьшего значений, но функция не ограничена.

Как мы уже выяснили, функция не имеет ограничений, так как стремится к бесконечности при x, стремящемся к нулю.

Для изучения монотонности найдем производную функции:

f(x) = 4/x + 3, f'(x) = -4/x².

Знак производной:

• f'(x) > 0 при x < 0 (функция возрастает);
• f'(x) < 0 при x > 0 (функция убывает).

Таким образом, функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, +∞).

График функции y = 4/x + 3 будет выглядеть следующим образом:

• Горизонтальная асимптота y = 3;
• Вертикальная асимптота x = 0;
• Функция имеет две ветви: одна в первой четверти, другая во второй.

График будет стремиться к асимптотам, но никогда их не пересечет.

Таким образом, мы рассмотрели все пункты, связанные с функцией y = 4/x + 3. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!