В уравнении (k^2-5k+3)x^2+(3k-1)x+2=0 как найти значение k, чтобы один из корней был в два раза больше другого?

Алгебра 9 класс Уравнения с параметрами уравнение алгебра корни значение k квадратное уравнение решение математическая задача пропорциональность корней Новый

Чтобы решить задачу, давайте обозначим корни уравнения как r1 и r2. Условие задачи говорит о том, что один корень в два раза больше другого, то есть:

• r1 = 2r2

Теперь, согласно свойствам корней квадратного уравнения, мы знаем, что сумма корней (r1 + r2) и произведение корней (r1 * r2) могут быть выражены через коэффициенты уравнения:

• Сумма корней: r1 + r2 = -b/a
• Произведение корней: r1 * r2 = c/a

В нашем случае уравнение имеет вид:

(k^2 - 5k + 3)x^2 + (3k - 1)x + 2 = 0

Здесь:

• a = k^2 - 5k + 3
• b = 3k - 1
• c = 2

Теперь подставим выражения для r1 и r2 в формулы суммы и произведения:

• Сумма: 2r2 + r2 = 3r2 = -b/a
• Произведение: 2r2 * r2 = 2r2^2 = c/a

Теперь выразим r2 через коэффициенты:

• r2 = -b/(3a) = -(3k - 1)/(3(k^2 - 5k + 3))
• 2r2^2 = c/a = 2/(k^2 - 5k + 3)

Теперь подставим значение r2 в уравнение для произведения:

• 2 * (-(3k - 1)/(3(k^2 - 5k + 3)))^2 = 2/(k^2 - 5k + 3)

Упростим это уравнение:

• 2 * (9(k - 1)^2)/9(k^2 - 5k + 3)^2 = 2/(k^2 - 5k + 3)

Теперь умножим обе стороны на 9(k^2 - 5k + 3)^2:

• 2 * 9(k - 1)^2 = 2 * 9(k^2 - 5k + 3)

Сократим на 2:

• 9(k - 1)^2 = 9(k^2 - 5k + 3)

Теперь можем убрать 9:

• (k - 1)^2 = (k^2 - 5k + 3)

Раскроем скобки:

• k^2 - 2k + 1 = k^2 - 5k + 3

Теперь упростим уравнение:

• -2k + 1 = -5k + 3

Переносим все k на одну сторону:

• 3k = 2

Таким образом, получаем:

• k = 2/3

Итак, значение k, при котором один корень уравнения в два раза больше другого, равно 2/3.