Похожие вопросы
2025-10-29 12:31:43
3. Каков общий вид первообразных для функции f(x)=(3x-2)^3 - 2cos(5x-π/3)?
Алгебра Колледж Интегралы и первообразные алгебра первообразные функция f(x) (3x-2)^3 2cos(5x-π/3) общий вид интегрирование Новый
2025-10-29 12:32:01
Для нахождения общего вида первообразных функции f(x) = (3x - 2)^3 - 2cos(5x - π/3) необходимо найти первообразные для каждого из слагаемых отдельно и затем объединить их.
Шаг 1: Найдем первообразную для первого слагаемого (3x - 2)^3.
- Для нахождения первообразной используем правило интегрирования степенной функции.
- Сначала сделаем замену: пусть u = 3x - 2. Тогда du/dx = 3, или du = 3dx, откуда dx = du/3.
- Теперь подставим в интеграл: ∫(3x - 2)^3 dx = ∫u^3 (du/3) = (1/3) ∫u^3 du.
- Интегрируем u^3: ∫u^3 du = (1/4)u^4 + C = (1/4)(3x - 2)^4 + C.
- Таким образом, первообразная для первого слагаемого будет: (1/12)(3x - 2)^4 + C1.
Шаг 2: Найдем первообразную для второго слагаемого -2cos(5x - π/3).
- Для интегрирования косинуса используем стандартную формулу: ∫cos(kx) dx = (1/k)sin(kx) + C.
- В нашем случае k = 5, поэтому: ∫-2cos(5x - π/3) dx = -2 * (1/5)sin(5x - π/3) + C2.
- Это упрощается до: (-2/5)sin(5x - π/3) + C2.
Шаг 3: Объединим результаты.
- Теперь объединим найденные первообразные:
- F(x) = (1/12)(3x - 2)^4 - (2/5)sin(5x - π/3) + C, где C = C1 + C2 - произвольная константа интегрирования.
Таким образом, общий вид первообразных для функции f(x) = (3x - 2)^3 - 2cos(5x - π/3) будет:
F(x) = (1/12)(3x - 2)^4 - (2/5)sin(5x - π/3) + C.