Чтобы доказать, что функция является четной, необходимо показать, что для всех x из области определения функции выполняется равенство: f(-x) = f(x).

Теперь давайте рассмотрим каждую из представленных функций по отдельности.

• Сначала найдем f(-x):
• f(-x) = (-x)⁴ * ctg²(-x) = x⁴ * ctg²(-x).
• Теперь используем свойство котангенса: ctg(-x) = -ctg(x).
• Следовательно, ctg²(-x) = (-ctg(x))² = ctg²(x).
• Таким образом, f(-x) = x⁴ * ctg²(x) = f(x).

Таким образом, функция f(x) = x⁴ * ctg²(x) является четной.

• Теперь найдем f(-x):
• f(-x) = (-x) * tg³(-x) = -x * tg³(-x).
• Используем свойство тангенса: tg(-x) = -tg(x).
• Следовательно, tg³(-x) = (-tg(x))³ = -tg³(x).
• Таким образом, f(-x) = -x * (-tg³(x)) = x * tg³(x) = f(x).

Таким образом, функция f(x) = x * tg³(x) также является четной.

• Теперь найдем f(-x):
• f(-x) = tg(3(-x)) / ((-x)⁵ - 9(-x) + cos(-x)) = tg(-3x) / (-x⁵ + 9x + cos(x)).
• Используем свойство тангенса: tg(-3x) = -tg(3x).
• Таким образом, f(-x) = -tg(3x) / (-x⁵ + 9x + cos(x)).
• Теперь упростим знаменатель: -x⁵ + 9x + cos(x) = -(x⁵ - 9x - cos(x)).
• Следовательно, f(-x) = -tg(3x) / (-(x⁵ - 9x - cos(x))) = tg(3x) / (x⁵ - 9x - cos(x)).

Таким образом, f(-x) = f(x) не выполняется, так как знаменатели различаются. Следовательно, функция f(x) = tg(3x) / (x⁵ - 9x + cos(x)) не является четной.

В итоге, мы доказали, что:

• f(x) = x⁴ * ctg²(x) является четной;
• f(x) = x * tg³(x) является четной;
• f(x) = tg(3x) / (x⁵ - 9x + cos(x)) не является четной.