2025-10-29 14:21:54
Как найти неопределенный интеграл выражения: ∫ (sin x - 4x³ + 3/x² + 9) dx?
Алгебра Колледж Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интегрирование алгебра 12 класс математика интеграл функции Новый
2025-10-29 14:22:09
Чтобы найти неопределенный интеграл выражения ∫ (sin x - 4x³ + 3/x² + 9) dx, мы будем интегрировать каждое слагаемое отдельно. Давайте разберем это шаг за шагом.
-
Интегрируем sin x:
Интеграл от sin x равен -cos x. То есть:
∫ sin x dx = -cos x
-
Интегрируем -4x³:
Чтобы интегрировать x^n, мы используем правило:
∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.
В нашем случае n = 3, поэтому:
∫ -4x³ dx = -4 * (x^(3+1))/(3+1) = -4 * (x^4)/4 = -x^4
-
Интегрируем 3/x²:
3/x² можно переписать как 3x^(-2). Теперь интегрируем:
∫ 3x^(-2) dx = 3 * (x^(-2+1))/(-2+1) = 3 * (x^(-1))/(-1) = -3/x
-
Интегрируем 9:
Интеграл от постоянной равен произведению этой постоянной на переменную. То есть:
∫ 9 dx = 9x
Теперь, когда мы нашли интегралы всех слагаемых, мы можем объединить их:
∫ (sin x - 4x³ + 3/x² + 9) dx = -cos x - x^4 - 3/x + 9x + C, где C - произвольная константа интегрирования.
Итак, окончательный ответ:
∫ (sin x - 4x³ + 3/x² + 9) dx = -cos x - x^4 - 3/x + 9x + C