Чтобы найти обратную матрицу A^-1, мы можем использовать два метода: метод присоединенной матрицы и метод элементарных преобразований. Давайте рассмотрим оба метода на примерах матриц.

Пример 1: A = (2 1 -1; 5 2 4; 7 3 2)

Метод 1: Присоединенная матрица

Для нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы, следуем этим шагам:

1. Находим определитель матрицы A.
2. Находим матрицу алгебраических дополнений.
3. Находим присоединенную матрицу.
4. Делим присоединенную матрицу на определитель.

1. Определитель A:

det(A) = 2(2*2 - 4*3) - 1(5*2 - 4*7) - 1(5*3 - 2*7) = 2(-10) - 1(-6) - 1(-1) = -20 + 6 + 1 = -13.

2. Алгебраические дополнения:

• Для элемента a₁₁ (2): M₁₁ = det((2 4; 3 2)) = 2*2 - 4*3 = -10.
• Для элемента a₁₂ (1): M₁₂ = det((5 4; 7 2)) = 5*2 - 4*7 = -18.
• Для элемента a₁₃ (-1): M₁₃ = det((5 2; 7 3)) = 5*3 - 2*7 = 1.
• И так далее для остальных элементов.

3. Присоединенная матрица:

adj(A) = (M₁₁ M₁₂ M₁₃; M₂₁ M₂₂ M₂₃; M₃₁ M₃₂ M₃₃).

4. Обратная матрица:

A^-1 = (1/det(A)) * adj(A).

Метод 2: Элементарные преобразования

Для нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований, следуем этим шагам:

1. Составляем расширенную матрицу (A | I), где I - единичная матрица.
2. Применяем элементарные преобразования, чтобы привести A к I.
3. Полученная часть справа будет обратной матрицей A^-1.

1. Расширенная матрица:

(2 1 -1 | 1 0 0; 5 2 4 | 0 1 0; 7 3 2 | 0 0 1)

2. Применяем элементарные преобразования:

Приводим к верхнему треугольному виду и затем к единичной матрице.

3. После выполнения всех преобразований, получаем A^-1 справа от единичной матрицы.

Пример 2: A = (1 2 -1; 0 -3 1; 0 0 1)

Метод 1: Присоединенная матрица

Следуем тем же шагам, что и в первом примере:

1. Находим определитель: det(A) = 1*(-3*1 - 1*0) - 2*(0*1 - 1*0) + (-1)*(0*0 - (-3)*0) = -3.
2. Находим матрицу алгебраических дополнений.
3. Находим присоединенную матрицу.
4. Делим присоединенную матрицу на определитель.

Метод 2: Элементарные преобразования

Составляем расширенную матрицу (A | I) и применяем элементарные преобразования, чтобы получить единичную матрицу слева и обратную матрицу справа.

Таким образом, мы можем найти обратную матрицу как с помощью присоединенной матрицы, так и с помощью элементарных преобразований. Каждый метод имеет свои преимущества, и выбор метода может зависеть от конкретной задачи.