Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Определенный интеграл ∫(x + 2)cos(3x)dx на отрезке от 0 до π:

1. Сначала найдем неопределенный интеграл функции (x + 2)cos(3x). Для этого мы можем использовать метод интегрирования по частям.
2. Выберем u = (x + 2), тогда du = dx.
3. Для dv возьмем cos(3x)dx. Интегрируя, мы получаем v = (1/3)sin(3x).
4. Теперь применим формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du. Подставляем наши значения:
5. ∫(x + 2)cos(3x)dx = (x + 2)(1/3)sin(3x) - ∫(1/3)sin(3x)dx.
6. Интеграл ∫sin(3x)dx равен -(1/3)cos(3x). Подставляем это обратно:
7. Итак, у нас получается: (1/3)(x + 2)sin(3x) + (1/9)cos(3x) + C.
8. Теперь нам нужно найти определенный интеграл от 0 до π:
9. Подставляем границы интегрирования: F(π) - F(0), где F(x) = (1/3)(x + 2)sin(3x) + (1/9)cos(3x).
10. Вычисляем F(π) и F(0): F(π) = (1/3)(π + 2)sin(3π) + (1/9)cos(3π) и F(0) = (1/3)(0 + 2)sin(0) + (1/9)cos(0).
11. Упрощаем: F(π) = (1/9)(-1) = -1/9 и F(0) = (1/9)(1) = 1/9.
12. Итак, окончательный ответ: ∫(x + 2)cos(3x)dx от 0 до π = (-1/9) - (1/9) = -2/9.

2. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x^2 - 6x + 5, y = 0, x = 4, x = 1:

1. Сначала найдем точки пересечения кривой y = x^2 - 6x + 5 с осью x (где y = 0).
2. Решим уравнение: x^2 - 6x + 5 = 0. Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант: D = b^2 - 4ac = 36 - 20 = 16.
3. Корни уравнения: x1 = (6 + 4)/2 = 5 и x2 = (6 - 4)/2 = 1. Таким образом, кривая пересекает ось x в точках (1, 0) и (5, 0).
4. Теперь мы можем найти площадь, используя определенный интеграл от 1 до 4: ∫(x^2 - 6x + 5)dx от 1 до 4.
5. Находим неопределенный интеграл: ∫(x^2 - 6x + 5)dx = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x + C.
6. Теперь вычисляем определенный интеграл: F(4) - F(1), где F(x) = (1/3)x^3 - 3x^2 + 5x.
7. Вычисляем F(4) и F(1): F(4) = (1/3)(64) - 3(16) + 20 = 21/3 - 48 + 20 = 7/3 - 48 + 20 = 7/3 - 84/3 + 60/3 = -17/3.
8. А F(1) = (1/3)(1) - 3(1) + 5 = 1/3 - 3 + 5 = 1/3 + 2 = 7/3.
9. Итак, площадь = F(4) - F(1) = (-17/3) - (7/3) = -24/3 = -8. Площадь будет равна 8.

3. Путь, который пройдет тело, движущееся со скоростью θ = t^2 - 1 (м/с), в интервале времени от t1 = 1с до t2 = 3с:

1. Чтобы найти путь, мы должны интегрировать скорость по времени. Путь S = ∫θ dt от t1 до t2.
2. Значит, нам нужно найти ∫(t^2 - 1)dt от 1 до 3.
3. Находим неопределенный интеграл: ∫(t^2 - 1)dt = (1/3)t^3 - t + C.
4. Теперь вычисляем определенный интеграл: F(3) - F(1), где F(t) = (1/3)t^3 - t.
5. Вычисляем F(3): F(3) = (1/3)(27) - 3 = 9 - 3 = 6.
6. Теперь F(1): F(1) = (1/3)(1) - 1 = 1/3 - 1 = -2/3.
7. Таким образом, путь S = F(3) - F(1) = 6 - (-2/3) = 6 + 2/3 = 18/3 + 2/3 = 20/3.

Ответ: путь, который пройдет тело, составляет 20/3 метра.