Как решить дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний (d^2x/dt^2) + 144x=0, если известно, что частное решение при t=(1/12)π равно x=-3 и dx/dt=24? Как найти частное решение?

Алгебра Колледж Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение гармонические колебания решение уравнения частное решение алгебра 12 класс математика x=-3 dx/dt=24 t=(1/12)π методы решения Новый

Для решения данного дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний, сначала запишем его в стандартной форме:

(d^2x/dt^2) + 144x = 0

Это уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Мы можем найти его общее решение, используя характеристическое уравнение:

r^2 + 144 = 0

Решая это уравнение, мы получаем:

1. r^2 = -144
2. r = ±12i

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

x(t) = C1 * cos(12t) + C2 * sin(12t)

где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые мы определим из начальных условий.

Теперь, чтобы найти частное решение, нам нужно воспользоваться данными начальными условиями:

x(1/12 * π) = -3

dx/dt |_(t=1/12 * π) = 24

Сначала подставим значение t = (1/12)π в общее решение:

x(1/12 * π) = C1 * cos(12 * (1/12) * π) + C2 * sin(12 * (1/12) * π)

Считаем:

• cos(π) = -1
• sin(π) = 0

Таким образом, уравнение становится:

-C1 = -3

Следовательно, C1 = 3.

Теперь найдем производную x(t):

dx/dt = -C1 * 12 * sin(12t) + C2 * 12 * cos(12t)

Подставим t = (1/12)π в производную:

dx/dt |_(t=1/12 * π) = -3 * 12 * sin(π) + C2 * 12 * cos(π)

Считаем:

• sin(π) = 0
• cos(π) = -1

Таким образом, уравнение становится:

dx/dt |_(t=1/12 * π) = -12C2 = 24

Отсюда:

C2 = -2

Теперь мы можем записать частное решение:

x(t) = 3 * cos(12t) - 2 * sin(12t)

Таким образом, частное решение данного дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний:

x(t) = 3 * cos(12t) - 2 * sin(12t)